ねへほもんの謎企画、「東進より先にセンター数学を解説してみた」の後半戦です。
予備校界の大手を敵に回すとは、恐ろしや・・・
まだだよな・・・と思って17日に東進のサイトを見たら解説が出ていましたｗ
とはいえ一度やり始めた企画ですし、責任を持って完遂させることとします。
それじゃあ、Ⅱ・Bも解いていきますよ～
1.第1問〔1〕
(1)1ラジアンの定義ｗｗｗ
正解は②です。
唐突にこんな問題が出ると焦りますが、「180度の円周角=π」を切り口に、「これってどれに当てはまるっけ？」と考えれば答えが出ます。
→半径1、弧の長さが1の扇形(つまり、半円)の中心角の大きさは1ラジアンという要領です。
(2)180度がπラジアンというのは経験則で知っているでしょうから、これを基に解くと、144度は144/180π=4/5πラジアンとなります。
また、23/12π=23*180/12=345度です。
(3)まずは①の置き換えで、これはさすがに解説不要でしょう。
cos(x-π/6)=cosxcosπ/6+sinxsinπ/6
=√3/2cosx+1/2sinx
となるので、上の式は、
よって、sinx-√3cosx=1となります。
sinxcosπ/3-cosxsinπ/3=1/2となるので、合成(加法定理の逆)すると、
これをθ=x-π/5に代入して、θ=3π/10,29π/30、うち条件を満たすのは、θ=29π/30です。
y=2x-1から明らかなように、接線ℓの傾きは2です。
当たり前すぎて、逆に不安になる問題ですねｗ
Cの式を微分すると、y'=2px+qで、これにx=1,y'=2を代入すると、
2=2p+q よって、
q=-2p+2
となります。
また、y=px^2+qx+rに(1,1)を代入して、
1=p+q+r
=p+(-2p+2)+r よって、
r=p-1
となります。
よってCの式は、
y=px^2-2(p-1)x+(p-1)と表せます。
(2)上の図のように、Cの方が上に位置するため、
S=∫(Cの式)-(ℓの式)dx (積分範囲はx=1→v)
=∫〔｛(px^2-2(p-1)x+(p-1)｝-(2x-1)〕dx
=∫(px^2-2px+p)dx
=p*∫(x-1)^2dx
=p/3*〔(x-1)^3〕 積分範囲を考慮すると、
=p/3*(v-1)^3
=p/3*(v^3-3v^2+3v-1)
となります。
次にTですが、(1,1)､(1,0)､(v､0)､(v､2v-1)の4点を結ぶ台形の面積です。
上底は(1,1)､(1,0)の2点の間隔、つまり1です。
次に下底は(v､0)､(v､2v-1)の2点の間隔、つまり2v-1です。
最後に高さは、(1,0)､(v､0)の2点の間隔、つまりv-1です。
以上より、
T=1/2*(1+2v-1)*(v-1)
=v*(v-1)
=v^2-v
となります。
U=p/3*v^3+(-p-1)v^2+(p+1)v-p/3 微分すると、
U'=pv^2+2(-p-1)v+(p+1) v=2で極値を取る(つまり、U'=0となる)ので、
p*2^2+2(-p-1)*2+(p+1)=0 整理すると、
p-3=0 よって、
p=3 となります。
この時、
U=v^3-4v^2+4v-1となります。因数分解すると、
U＝(v-1)(v^2-3v+1)
v>1より、U=0となるのは、
v^2-3v+1=0となる時です。
2次方程式の解の公式より、
v=(3±√5)/2 v>1より、
v=(3+√5)/2 です。
上の増減表より、1<v<v0の範囲でUは負の値のみを取ることが分かります。
よって、ソは③です。
また、最小値は上図の通り、v=2で取る極値(-1)です。
4.第2問〔2〕
(1)大まかに言うと、「積分は微分の逆」です。
F'(x)はf(x)を積分してから微分しているのですから、元のf(x)に戻ります。
よってツは⑦です。
f(x)が常に0以下の値を取ることに注意すると、
W=-∫f(x)dx
=-〔F(x)〕 ここに積分範囲(x=1→t)を代入すると、
=(-1)*(F(t)-F(1))
=-F(t)+F(1)
となり、テは④です。
また、Wについては問題文に色々と書かれていますが、簡単に言うと下図の面積と等しいです。
この三角形は、三平方の定理より高さが2tと求まる((t^2-1)^2+(2t)^2=(t^2+1)^2が成立)ので、面積は簡単に求められ、
W=1/2*(2t^2-2)*2t よって、
W=2t^3-2t となります。
よって、
2t^3-2t=-F(t)+F(1)が成立し、両辺をtで微分すると、
6t^2-2=-f(t) よって、
f(t)=-6t^2+2
となります。