※一社会人の個人的趣味による解説なので、誤りがある可能性がありますがご了承ください。ミスがあればTwitter＠nehehomonまでご一報いただけますと幸いです。後、通常のブログで表示可能な表現のみを用いているため、見づらい点があることもご了承ください。
0.解説を書く経緯
一旦省略！
とりあえず問題を解いて解説を仕上げますｗ
問題のリンク先→www.yomiuri.co.jp/nyushi/18/center/2/mondai/1289963_4948.html
1.第1問〔1〕
※基本事項ですが、*は掛け算の記号「×」と同義、^はべき乗の記号(例：n^2ならnの2乗)を表します。
5-xをひとかたまりとして考えて展開すると、
(x+n)(n+5-x)=x*n+x(5-x)+n*n+n(5-x)
=x(5-x)+n^2+5n・・・(*) よってアは5
・(x+1)(6-x)
(*)でn=1とした場合なので、n=1を代入して、X+1^2+5*1=X+6(イ)
・(x+2)(7-x)
(*)でn=2とした場合なので、n=2を代入して、X+2^2+5*2=X+14(ウエ)
x=(5+√17)/2の場合、5-x=(5-√17)/2となるため、X=(5+√17)(5-√17)/4=(25-17)/4=2（オ）となり、
A=2*(2+6)*(2+14)
=2*8*16
=2*2^3*2^4
=2^(1+3+4)
=2^8(カ)
となります。
2.第1問〔2〕
(1)包含関係の正誤問題は、反例が1つでもあれば誤なので、まずは反例が無いかを検討することがセオリーです。
(a)5は20の約数(Aに含まれる)が、偶数ではない(Cに含まれない)ため、「誤」
(b)パッと見た印象として、反例は無さそうに感じられます。
実際に20の約数を書きだしてみると、1,2,4,5,10,20と3の倍数は1つもありません。
よって、AかつBをみたす20以下の自然数はなく、「正」となります。
正解は②です。
(c)以降は一見ややこしいですが、手が止まる場合には分量次第では全て書き出すのもアリです。
悩まなくて済む分、実戦的かもしれません。
僕もド・モルガンの法則とか忘れました（おい）が、書き出せば解けることだけは覚えています。
A=｛1,2,4,5,10,20｝
B=｛3,6,9,12,15,18｝
C=｛2,4,6,8,10,12,14,16,18,20｝
ここまでくれば後は目の検査ですねｗ
(c)AUC=｛1,2,4,5,6,8,10,12,14,16,18,20｝
(AUC)かつB=｛6,12,18｝
よって、「正」
(d)A以外=｛3,6,7,8,9,11,12,13,14,15,16,17,18,19｝
A以外かつC＝｛6,8,12,14,16,18｝
（A以外かつC）UB=｛3,6,8,9,12,14,15,16,18｝・・・(a)
BUC=｛2,3,4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20｝
A以外かつ(BUC)=｛3,6,8,9,12,14,15,16,18｝・・・(b)
(a)､(b)は一致するため、「正」
よってクは0
かなりの力業となりましたが、予備校の解説だともう少し綺麗に解くんですかねぇ・・・
(2)とにかく条件文は分かりやすく書き直すことがセオリーです。
ここだと数直線に表すと見やすいですね。
図に書きだすまでもなかった気もしますが、qまたはｒとpの範囲がピッタリ一致していることが分かります。
要は必要十分条件ということで、ケは②です。
次にrとsですが、
r⇒sは成立する一方、s⇒ｒは必ずしも成立しません。(例：-3)
よって、sはrの必要条件だが十分条件ではないということで、コは0です。
3.第1問〔3〕
1次関数の問題ですが、ここで必殺技を使わせてください・・・
必殺「紙答案貼り付けの術」
分数、平方根、図・・・全てをブログ上で文字に起こすのは手間が掛かりますし、見づらいだけです。
今度は僕の字が小さい、見づらいという問題が起こり得ますが、そもそも読者が居るのかも怪しいこんな解説に見やすさは必要なのかという大問題があるので良しとしてくださいｗ
平方完成して、最小値を場合分けして解くという典型的な問題ですが、ここで僕が強調したいことは1つです。
「1次関数→平方完成をクセ付けること！」なんて当たり前のことを言うつもりはありません。(なら何故書いたｗ)
「aを正の実数とし」という条件設定を読み飛ばさないことが重要です。
a<0だと、色々な前提が崩れてきます。
・そもそもグラフが上に凸になるため、最小値の出方が変わる
・グラフの頂点はp=1+3/aとなり、a>0なら当然に成り立つ「p>0」の関係式の成立が怪しくなる
・3≦3/aの不等式の解が逆向きになる(というか、そもそも解なしになる)
センター試験ならなぁなぁで解けるかもしれませんが、a<0の引っ掛けが今後出るかもしれません。
後は2次試験で記述式として出題された場合に、「a>0」と「a<0」の場合分けを自分で設定して解くことが求められます。
センターレベルの問題なら、条件設定くらい当然読むに決まっていると言われるかもしれませんが、より複雑な問題に出くわしても、きちんと前提条件の把握を怠らない姿勢は当然ながら重要だと思います。
以上で問題1の解説を終わります。
ってまだ30点分なの・・・
4.第2問〔1〕
平面図形の問題です。
解き方が色々あるだけにセンスが問われますが、決まったルートが無いというのは苦手です・・・
ダサい解き方だと思われるかもしれませんがご勘弁を。
予備校のプロならもっとスパッと解いてくれるのでしょうかね？
解き方が色々あるだけにセンスが問われますが、決まったルートが無いというのは苦手です・・・
ダサい解き方だと思われるかもしれませんがご勘弁を。
予備校のプロならもっとスパッと解いてくれるのでしょうかね？
と言ってもこれは余弦定理を使うだけのシンプルな問題です。
まずは図から。
数式はさほどややこしくないため、文章で打ち込みます。
まずは図から。
数式はさほどややこしくないため、文章で打ち込みます。
・sinABCを求めるまで
cosABC=xとおくと、余弦定理より、
AC^2=AB^2+BC^-2*AB*BC*x 値を代入すると、
36=25+81-90x
これを解いて、x=7/9(ア、イ）
AC^2=AB^2+BC^-2*AB*BC*x 値を代入すると、
36=25+81-90x
これを解いて、x=7/9(ア、イ）
sinABC^2+cosABC^2=1より、
sinABC^2+(7/9)^2=1
よって、sinABC^2=32/81、sinABC=4√2/9(ウ、エ、オ）
sinABC^2+(7/9)^2=1
よって、sinABC^2=32/81、sinABC=4√2/9(ウ、エ、オ）
・台形の形は？
次は個人的に好きな問題です。
AB*sinABCが何を意味するのか分からないと解けず、ちょっとした思考力を問う良問だと思います。
AB*sinABCが何を意味するのか分からないと解けず、ちょっとした思考力を問う良問だと思います。
台形のどちらの2辺が平行でしょう？という話です。
ここで上の図(ⅰ)と(ⅱ)を見ていただきたいのですが、「(ⅱ)はあり得ないから(ⅰ)だ！」という結論になります。
(ⅱ)の赤線がAB*sinABCを表しますが、これはDからBCに向かって垂直に引いた線の長さと等しいです。
一方DCはDからBCに向かって斜めに引いた線です。
んっ、図が歪んでいて垂直に引いたように見えないって？
確かにｗ
斜めに引いた線の方が、垂直(つまり、最短距離)に引いた線より長いのは明らかなので、
(ⅱ)が成り立つのであれば、AB*sinABC＜CDとなるべきです。
一方実際の数値は、AB*sinABC=20√2/9で、√2=1.414・・・>1.35なので、20√2/9>20*1.35/9=3つまり、AB*sinABC＞CDとなり、不等号の向きが逆になります。
これはおかしいので、(ⅱ)はあり得ず、(ⅰ)のパターンが正解です。
(ⅱ)が成り立つのであれば、AB*sinABC＜CDとなるべきです。
一方実際の数値は、AB*sinABC=20√2/9で、√2=1.414・・・>1.35なので、20√2/9>20*1.35/9=3つまり、AB*sinABC＞CDとなり、不等号の向きが逆になります。
これはおかしいので、(ⅱ)はあり得ず、(ⅰ)のパターンが正解です。
よって、カは0、キは④が正解です。
・BDの長さを求める
BDの長さを求めるのですが、直接パッと求める方法はありません。
ヒントはABとCDが平行ということ。平行と言えば・・・「相似」だ！
ヒントはABとCDが平行ということ。平行と言えば・・・「相似」だ！
という訳で、相似の関係を用いて辺の長さを求めます。
図(ⅰ)に戻って、ACとBDの交点をEとしていますが、平行関係から、ΔABEとΔCDEは相似(相似比は5:3)の関係にあります。
つまり、BDはBEの8/5倍、DEの8/3倍の長さなので、BEかDEの長さが求まればBDの長さも求まります。
つまり、BDはBEの8/5倍、DEの8/3倍の長さなので、BEかDEの長さが求まればBDの長さも求まります。
ここでは、3辺の長さが分かっているΔABCに的を絞り、BEの長さを求めます。
まずは相似比から、AE：CD=5:3=15/4：9/4となり、AE=15/4と求まります。
後は角BACに狙いを定めて、余弦定理を2連打します。
まずは相似比から、AE：CD=5:3=15/4：9/4となり、AE=15/4と求まります。
後は角BACに狙いを定めて、余弦定理を2連打します。
①cosBACを求める
BC^2=AB^2+AC^2-2*AB*AC*cosBACに値を代入して、
81=25+36-60cosBACよって、cosBAC=-1/3
81=25+36-60cosBACよって、cosBAC=-1/3
②BEを求める
BE^2=AB^2+AE^2-2*AB*AE*cosBACに値を代入して、
BE^2=25+(15/4)^2-2*5*15/4*(-1/3)
=25+225/16+25/2
=825/16
よって、BE=5√33/4
BD=8/5*BE=2√33(ク、ケ、コ)と求まります。
BE^2=25+(15/4)^2-2*5*15/4*(-1/3)
=25+225/16+25/2
=825/16
よって、BE=5√33/4
BD=8/5*BE=2√33(ク、ケ、コ)と求まります。
回答数値自体は簡単な数ですが、もしかしてもっと簡単な解き方があるのでしょうか・・・？
5.第2問〔2〕
続いては統計の問題ですね。
僕が受験生時代には、選択問題で選べる程度の位置づけで、僕も完全に無視していました。
と言うと不安に思われるかもしれませんが、大学でちゃんと履修したのでご心配なく。
僕が受験生時代には、選択問題で選べる程度の位置づけで、僕も完全に無視していました。
と言うと不安に思われるかもしれませんが、大学でちゃんと履修したのでご心配なく。
大学の履修対象にもなるような統計ですが、さすがにセンターレベルでは用語を覚えておけば解けるレベルです。
ちゃんと覚えておきましょう。
ちゃんと覚えておきましょう。
四分位数：データを数字が小さい順に並べ、四等分した時の境界となる数値。小さい方から順に第1四分位数、第2四分位数(別名：中央値)、第3四分位数と言います。
四分位範囲：第3四分位数と第1四分位数の差。
(例)1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144なら、13が小さい方から6番目で丁度中央に位置するので第2四分位数。
前半分(1,2,3,5,8)のうち、3が丁度中央に位置するので第1四分位数。
後半分(21,34,55,89,144)のうち、55が丁度中央に位置するので第3四分位数。
前半分(1,2,3,5,8)のうち、3が丁度中央に位置するので第1四分位数。
後半分(21,34,55,89,144)のうち、55が丁度中央に位置するので第3四分位数。
箱ひげ図：左右に伸びる細いひげと、中央に箱が書かれた図(見たまま)。
左右に伸びるひげがデータの範囲を表し、中央の箱で囲われた範囲の両端が第1四分位数と第3四分位数で、中央線の位置に第2四分位数が来る。
左右に伸びるひげがデータの範囲を表し、中央の箱で囲われた範囲の両端が第1四分位数と第3四分位数で、中央線の位置に第2四分位数が来る。
これだけ分かればこの問題は解けます。
(1)
0：範囲の最大は150cmから200cm超えまでが集う男子短距離なので「誤」
1：箱ひげ図の1目盛は2なので、四分位範囲が6目盛以上あるグループはあるのか？という問題ですが、そんなグループは無いので「正」
2：男子長距離の中央値は176cmですが、ヒストグラムで度数最大なのは170-175cmの範囲なので「誤」
3：女子長距離の第1四分位数は160-162cmの間。一方度数最大なのは165-170cmの範囲なので「誤」
4：身長最高は男子短距離の2m超えの大男です。という訳で「誤」
5：身長最低は女子短距離の143cm位の人です。という訳で「誤」
6：箱ひげ図を見れば分かりますが、男子短距離の中央値と男子長距離の第3四分位範囲は共に180-182cmに入っているので「正」
0：範囲の最大は150cmから200cm超えまでが集う男子短距離なので「誤」
1：箱ひげ図の1目盛は2なので、四分位範囲が6目盛以上あるグループはあるのか？という問題ですが、そんなグループは無いので「正」
2：男子長距離の中央値は176cmですが、ヒストグラムで度数最大なのは170-175cmの範囲なので「誤」
3：女子長距離の第1四分位数は160-162cmの間。一方度数最大なのは165-170cmの範囲なので「誤」
4：身長最高は男子短距離の2m超えの大男です。という訳で「誤」
5：身長最低は女子短距離の143cm位の人です。という訳で「誤」
6：箱ひげ図を見れば分かりますが、男子短距離の中央値と男子長距離の第3四分位範囲は共に180-182cmに入っているので「正」
よって正解のサ、シは1と6です。
(2)散布図に引かれたℓ1-ℓ4の直線を正しく読み取ることが鍵です。
Z=W/Xを書き換えるとW=ZXとなるため、Zは散布図の傾きであることがポイントです。
これが分かれば、a,b,c,dがどのグループに対応するかが見えてきます。
a：最大値が30あるのがポイントです。傾きが30であるℓ4に重なっているグループ、つまり男子短距離です。
d：最大値が25未満なのがポイントです。傾きが25であるℓ4にすら届かないグループ、つまり女子長距離です。
b､cにはっきりした差はありませんが、見比べると、bは最小値がより15に近く、最大値がより30に遠いので女子短距離、cは男子長距離となります。
d：最大値が25未満なのがポイントです。傾きが25であるℓ4にすら届かないグループ、つまり女子長距離です。
b､cにはっきりした差はありませんが、見比べると、bは最小値がより15に近く、最大値がより30に遠いので女子短距離、cは男子長距離となります。
0：正の相関と言われれば微妙かもしれませんが、見た感じ右肩上がりの分布で、少なくとも負の相関には見えないので「誤」
1：中央値が最も大きいのはa、つまり男子短距離なので「誤」
2：Zの範囲が最小なのはd、つまり女子長距離なので「誤」
3：b-dの四分位範囲は目視では比べづらいですが、少なくとも男子短距離(a)の四分位範囲が最大なのは読み取れるため「誤」
4：Zの値が全て25より小さいのはd、つまり女子長距離なので「正」
5：男子長距離はcなので「正」
1：中央値が最も大きいのはa、つまり男子短距離なので「誤」
2：Zの範囲が最小なのはd、つまり女子長距離なので「誤」
3：b-dの四分位範囲は目視では比べづらいですが、少なくとも男子短距離(a)の四分位範囲が最大なのは読み取れるため「誤」
4：Zの値が全て25より小さいのはd、つまり女子長距離なので「正」
5：男子長距離はcなので「正」
という訳で正解のス、セは4,5です。
(3)
初めから足し合わせるというよりは、部分的にパーツを作ってそれをｎ個足し合わせる方がやりやすいです。
変換の都合で、xの平均はμx、ｗの平均はμｗと表記します。
(xk-μx)(wk-μw)=xkwk-μxwk-μwxk+μxμw
これをk=1,2,・・・nについて足し合わせると、
第1項：x1w1+x2w2+・・・+xnwn
ここでソ以外の部分が埋まります。よって、ソは以下3項の合計です。
ここでソ以外の部分が埋まります。よって、ソは以下3項の合計です。
第2項：-μx(w1+w2+・・・+wn)=-nμxμw
第3項：-μw(x1+x2+・・・+xn)=-nμxμw
第4項：nμxμw
第3項：-μw(x1+x2+・・・+xn)=-nμxμw
第4項：nμxμw
よってこれらを合計すると、-nμxμwとなり、ソは②です。
これで第2問終了です。ようやく60点分まで解説できましたとさ。