2003年の東京大学入試問題「π>3.05を示せ」に関して別解
正八角形を用いた円周率の評価がすぐに思いつくのですが、この方法だと、半径1の円に対して、内接正八角形の一辺の長さは√(2-√2)。
4√(2-√2)=3.0614...>3.05で少し余裕があるため、もう少し内側の八角形でもいいんじゃない？という考えで解いてみる。
辺の長さがa,b,c(a<b<c)の直角三角形に対して、頂点の数が8個(A,B,C,D,E,F,G,H)の等辺八角形と中心Oの円を考えるが条件は以下の通り。
・半径(a+b)の円
・∠AOB=BOC=...=45°
・八角形の各頂点の中心Oからの距離が、AO=CO=EO=GO=a+b, BO=DO=FO=HO=√2b
△AOBは、辺の長さが(a,b,c)である直角三角形と、(b,b,√2b)である直角二等辺三角形を組み合わせたような、辺の長さが(a+b,c,√2b)である三角形となるため、
この時、a+b>√2bかつ3.05<4c/(a+b)を満たせばよい
辺の長さは整数とするなら、ピタゴラスの定理の一般化、共通約数を持たない2mn, m²-n², m²+n²で考えた場合に、
・m=3,n=2 (5,12,13の直角三角形)
3.05<4(m²+n²)/(m²-n²+2mn)=3.0588...
5/12=0.416...>√2-1
で両方とも該当。
この次の数は、
・m=59,n=12 (3625, 3337, 1416の直角三角形)
3.05<4(m²+n²)/(m²-n²+2mn)=3.050704...
1416/3337=0.4243...>√2-1
・m=68,n=45 (6649, 2599, 6120の直角三角形)
3.05<4(m²+n²)/(m²-n²+2mn)=3.05034...
2599/6120=0.4246...>√2-1
と急激に増えますが、組み合わせは無限。
この考えなら、複雑な√の評価が不要なため、計算が楽です。
フィボナッチ数列、黄金比の証明 φⁿ=Fₙφ+Fₙ₋₁
面白い法則を証明したので記述しておきます。
黄金比 (1+√5)/2 をφと表現する。
フィボナッチ数列を、F₀=0, F₁=1, Fₙ₊₂=Fₙ₊₁+Fₙ (n≧0) で表現する。
すなわち、{Fₙ}=0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... (n=0,1,2,3,...)
この時、
φⁿ=Fₙφ+Fₙ₋₁ (n≧1, nは整数)
が成立する。
(証明)
φは二次方程式x²-x-1=0の解であるため、φ²=φ+1
・n=1の時、
左辺=φ
右辺=F₁φ+F₀=φ
両辺等しいので成立。
・n=2の時、
左辺=φ²=φ+1
右辺=F₂φ+F₁=φ+1
両辺等しいので成立。
・n=kの時、φᵏ=Fₖφ+Fₖ₋₁ が成立すると仮定する。
・n=k+1の時、
左辺=φᵏ⁺¹=φ(Fₖφ+Fₖ₋₁)=Fₖφ²+Fₖ₋₁φ=Fₖ(1+φ)+Fₖ₋₁φ
右辺=Fₖ₊₁φ+Fₖ=(Fₖ+Fₖ₋₁)φ+Fₖ=Fₖ(1+φ)+Fₖ₋₁φ
両辺等しいので成立。
よって数学的帰納法により、全てのn(n≧1, nは整数)について、φⁿ=Fₙφ+Fₙ₋₁ が成立する。
コラッツ数列メモ-2
前回と同様に、
②1/2する操作。
③3倍して+1する操作。
aが奇数のパターン
(ア)③②②②②③
(イ)②③②③②②
(ア)a→3a+1→(3a+1)/2→(3a+1)/4→(3a+1)/8→(3a+1)/16→(9a+19)/16
(イ)a+1→(a+1)/2→(3a+5)/2→(3a+5)/4→(9a+19)/4→(9a+19)/8→(9a+19)/16
このようなものが偶数の時と絡むと三つ子、四つ子コラッツ...となる。
(追記)
小さい方がa=4n+2型の偶数の時、
(ア)②③、(イ)③②
の変換をたどり、差は変化しない。
(ア)4n+2→2n+1→6n+4
(イ)4n+3→12n+10→6n+5
小さい方がa=2ᵐn+1型の奇数(m≧2)の時、
(ア)③②②、(イ)②③②
の変換をたどり、差は変化しない。
(ア)2ᵐn+1→3*2ᵐn+4→3*2ᵐ⁻¹n+2→3*2ᵐ⁻²n+1
(イ)2ᵐn+2→2ᵐ⁻¹n+1→3*2ᵐ⁻¹n+4→3*2ᵐ⁻²n+2
コラッツ数列メモ
コラッツ数列に関して、検証してみたらわかったことがあるので、メモしておく。
例えば、(44,45)の隣り合う数字は、どちらも3回の操作で34に達するため、その後は同じ系列をたどります。
このような組み合わせは他にもあり、(62,63)は13回の操作で364に達し、その後は同じ系列をたどります。
双子コラッツと勝手に呼んでますが、これらが無数に存在することは以下のように説明できます。
②1/2する操作。
③3倍して+1する操作。
とする。
(ア)aという数字に、(②③)(②③)...(②③)②②③
(イ)a+1という数字に、③(②③)(②③)...(②③)②②
という操作を行う。なお(②③)はn回。
(ア)(②③)により、aₙ=3/2aₙ₋₁+1からaₙ=(3/2)ⁿ(a+2)-2も参考に、最後②②③の操作で、(3ⁿ⁺¹/2ⁿ⁺²)a+3ⁿ⁺¹/2ⁿ⁺¹-1/2
(イ)3a+4後、(②③)n回の操作で(3ⁿ⁺¹/2ⁿ)(a+2)-2、最後②②の操作で、(3ⁿ⁺¹/2ⁿ⁺²)a+3ⁿ⁺¹/2ⁿ⁺¹-1/2
よってこのような操作の場合、(ア)=(イ)となり、その後は同じ数列をたどることになる。
例えば、②②③、③②②を考えると、
(ア)a→a/2→a/4→(3a+4)/4
(イ)a+1→3a+4→(3a+4)/2→(3a+4)/4
aが4で割れて8で割れない数の場合、このような系列を辿るので、このような数は無数に存在する。
例えば、a≡2 mod 16 の場合は、
(ア)②③②②③
(イ)③②③②②
のパターン。
(ア)18→9→28→14→7→22
(イ)19→58→29→88→44→22
(ア)66→33→100→50→25→76
(イ)67→202→101→304→152→76
ヨビノリさんとこにもコメント
https://www.youtube.com/watch?v=-j5ZWffcnQ0
AKITOさんとこのコメント
https://www.youtube.com/watch?v=HxbrLxtS9Yw
Ubuntu 18.04へのrtl8821AUドライバのインストール
セキュリティ強化目的で、init_timer関数をtimer_setupに移行したためのようです。
https://github.com/abperiasamy/rtl8812AU_8821AU_linux
# sudo make -f Makefile.dkms install
# sudo apt-get install dkms build-essential bc
※linux-image-rpi-rpfv linux-headers-rpi-rpfvはなぜか見つかりませんのメッセージが...でも無くても動きました。
# cd /usr/src/rtl8812au
# sudo make clean
# sudo make
# sudo make install
# sudo modprobe -a rtl8812au