【2026年 京大数学】
2026年京大数学について解説します。
総評
〈難易度〉
CCDCCA
標準解答時間
25分、20分、35分、30分、30分、10分 計150分
私
25分〇、21分〇、残り時間すべて×、20分〇、30分〇、7分〇
いやー難しかったです。毎年同じく小問は一つもなかったですね。第三問はいったん飛ばしましたが解けませんでした。とるべきところでしっかりと点数を取らないと厳しかったと思います。第一問と第六問は確実に取りたいですね。特に第六問に関しては方針含め10分程度で解いてほかの大問に時間をかけたいところ。第一問はただの定数分離なので時間をかけてでもとりたい。2～5は得意不得意によって変わりますね。第二問、第四問は論証が難しいですね。第二問はたくさん解法があると思うので研究してみると面白いかも。自分は座標を使って解きました。第四問は自分は得意でしたが、試験場でこれを解けと言われたら少々厳しい。過不足なく答案を作り上げることは難しいので、ある程度はしょりながら高得点を狙うしかないですね。第五問は割と単純な問題でしたが状況を把握するのに意外と時間がかかるかも。
いずれにせよバランスよく難しいセットだったと思います。
第一問 微分
実数解の個数を求めて図示させる問題。京都大学を受ける人ならば十分な演習を積んでいると思います。そのまま f(x)を微分するのはつらいのでできるだけ簡単な形に変形しましょう。逆数にして二乗を外すのが一番楽だと思います。変域や同値条件に十分注意しましょう。a の値によって振る舞いが変わるので場合分けしましょう。最後に境界を考えて終了です。できるだけスピーディーに解きたいですね。
第二問 球の交点と大きさ
正四面体の一辺に中心をおき、球が他の一辺と交点を持つか考察する問題。一見すると複雑そうに見えますが、考えればそこまで難しくない。ただ答案で表現するのは難しいですね。結局は向かい合う辺同士の最大最小距離を考えることになります。最大距離の方は難しくいですね。端的に書いておきましょう。最小の方は、どちらの辺に対しても垂直になるときが最小という事実を用いて解答しました。Oの座標を求めましたが解答には必要なかったですね。計算は単純ですが情報処理と答案力が求められる問題だったと思います。
第三問 多項式と倍数
本セット最難問だと思います。自分は解けませんでした。多項式だったので条件反射で二項定理を用いてしまいましたがそれが罠でした。偶数と奇数で場合分けすれば、奇数の方は証明できたのですが偶数の方はどうしてもうまくいかずギブアップしました。予備校の解答をみたところ帰納法を用いていました。いやーそれは気づかない。二項定理で上手くいかなかったらすぐに方針転換すべきでしたね。帰納法だと2分程度で解答が終わりました悔しい。二項定理でも解けるとは思うんですが、とんでもなく難しい気がします。個人的には2015年の東京大学の二項係数と似ている気がしました。二項係数得意なはずなんだけどな…。二項定理で解け次第追記しようと思います。
第四問 正三角形の最小値
一辺の長さが１の正方形を含む正三角形の最小を求める問題。論述含め厳しいですね。京大らしい問題ともいえます。
正方形の頂点が必ず３つ以上正三角形の辺上にあることを考えるのがポイント。まあ最小の正三角形ですから小さくしていけばそうなりそうなのはなんとなくわかると思います。そこから一辺の長さを求めるためにパラメーターを置く必要があるのですが、おそらく角度を置くのが正解だと思います。角度に特徴のある図形を扱う時は角度をパラメーターにするといいですね。（たまに辺をパラメーターにするときもありますが）置く場所もできるだけ工夫するといいと思います。自分は正弦定理が使いやすくなるように角度を置きました。あとは一辺を表して計算して終了。最小値を求める計算はそこまで難しくないですね。ただ議論といいパラメーターといいなかなか骨の折れる問題でしたね。
第五問 回転体
回転体の体積をも取れる問題でした。演習量の差が如実に表れそうな問題。x 軸回転体を考えるので当然 x 軸からの距離を考えます。原点対称であることも考え０以上で考えましょう。一番のポイントは場合分けに気付けるかだと思います。π/2 を境に距離の最大値が変わります。x軸との交点が変わるのである程度予想はできると思います。積分計算は難しくありません。二乗なので半角を使って次数を下げましょう。最後に二倍するのを忘れずに。a に π/2 を入れて検算もしましょう。
第六問 期待値
第六問は期待値の問題でした。期待値と聞くと身構えてしまうのですが、とても簡単でしたね。まずは最大値が kとして k となる期待値を考えましょう。
そのあとに足し合わせますが、少し工夫。連続する積をシグマするときは f(k+1) - f(k)の形にすることで楽に求めることができます。展開するよりもこちらの方が確実なので覚えておくといいでしょう。この問題はオアシスなので先にこれを解いて落ち着けるといいですね。
