例えば噺家さんが、「トリを“つとめる”」というとき、漢字ではどう書くのでしょうか？
感覚的には、「務める」か「勤める」ではないかと思うのですが。
文化庁の調査によると、「(委員長を)つとめる」の場合は、「務める」が正しいと答えた人が一番多く、６７.９％、「勤める」は１７.１％、「努める」は１０.５％。
若手の噺家さんの中には、ＳＮＳで、「努める」と書く人が何人かいる気がします。
例えば、柳亭小燕枝さんの今日のツイート。
「務める」は与えられた任務・役割を果たす、「勤める」は職に就いて働く、「努める」は努力するということ。
恐らく、多数の「務める」なんだと思います。
しかし、若手の噺家さんは、高座、就中主任をとるという任務や仕事を一生懸命に頑張るという意図から、「努める」って書いているんでしょう。
その心意気や良し、ということでしょう。