中学入試 計算問題の難問

2021年の中学入試は終了し，あとは高校，大学ですね。

中学入試の計算問題について

2021という年号にちなんで，2021という数値が多くの中学で出題されました。

昨年から言われていたことで，受験生は対策済だったと思います。

開成中学の大問1の（4）にスポットをあててみます。

問題「1/9998を小数で表すとき，小数第48位の数，小数第56位の数，小数第96位の数をそれぞれ求めなさい。」

1/9998は分子が1で分母が9998の分数です。

分母がとんでもない数です。

頻出パターンは「1/7の小数第100位の数を求めよ」のようなものです。

これなら，実際に割り算をして0.142857・・・周期が6の循環小数になるので，

100÷6＝16あまり4　だから，142857の4番目，（答）8

というように解けます。

1÷9998を実際に割ると，電卓いやいやエクセルでも挫折します。

割り算の結果は（40桁ごとに改行しています）

（答）　第48位…8，　第54位…3，　第96位…6

です。

割り算の実行途中で，ある規則性に気づくかどうかがポイントです。

4桁ごとに1，2，4，8と余りが出て，商も0001，0002，0004，0008，と進んでいきます。

つまり2倍2倍です。第48位は4桁ごとだと，12セット目なので，2倍2倍を11回重ねた，2の11乗

すなわち2048になります。したがって，第48位は8になります。

このペースでうまくいくかと思いきや，後ろの方では繰り上がりが発生します。

第56位は4桁ごとの14セット目なので，2の13乗＝8192，

しかしその次が2の14乗で16384なので，1繰り上がって14セット目は8193です。

したがって，第56位は3になります。

第96位は4桁ごとの24セット目なので，2の23乗＝8388608

その次25セット目が2の24乗で16777216なので，1677繰り上がって

と思いきや次の次26セット目が2の25で33556432，この影響が表れてきます。

16777216も3355が繰り上がると16780571なので，24セット目への繰り上がりは1678になります。

したがって，第96位は6です。

まあこんなに考えているより，実際は96位まで規則性を活かしながら割り算を実行する，という解き方がベストだと思います。

その他，計算の難問をピックアップしておきますので，どうぞご利用下さい。

2021 年号問題

2021年　受験シーズンです。

今週末1/16，17には共通テストが行われます。

マスクを着けて試験に集中する。　意外と影響あるかもしれません。普段の練習ですね。

2021年には2021にまつわる問題が出るのではないかと言われていて，予想問題を解いた人もいるのではないでしょうか。

2021＝43×47　という素因数分解

2021＝45²－2²　という平方数の差であったり

挙げるときりがありません。

おととい1/11に，日本数学オリンピック予選が行われ，5000人ほどが受験しました。

3時間で12問解くのですが，中学受験レベルから東大を超えるレベルまでの問題が並んでいます。

その第一問

「互いに素な正の整数m，nがm＋n＝90をみたすとき，積mnとしてありうる最大の値を求めよ。」

正の整数で和が90なので，m＝1～89まで調べれば，必ず答がでるのですが・・・。

効率よく調べることが学習です。

まず，m，nの大小を　m≦n　と勝手に決めても答に影響しないので，m＝1～45を調べればいいです。

次に，互いに素（mとnの公約数は1）という条件から，mと90は互いに素ということになります。なぜなら

n＝90－mなので，90とmが2以上の公約数dを持つと，n＝dの倍数－dの倍数　となりnもdで割り切れるからです。

90は2，3，5で割り切れるので

mは2，3，5の倍数でないものにしなければいけません。

したがって，m＝1，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43を調査します。

m＝43，n＝47のとき積が最大になるので，最大値は43×47

［答］2021

2次関数の最大最小をつかうと，もっと効率よく解けます

m＝45－x，　n＝45＋x　（x＝0，1，2，・・・）とおけるので

積mn＝（45－x）（45＋x）＝2025－x²

つまり，xが小さいほど，積mnは大きくなります。

x＝0なら，m＝45，n＝45になって，互いに素に反する

x＝1なら，m＝44，n＝46になって，互いに素に反する

x＝2なら，m＝43，n＝47になってOK，答は43×47＝2021

という流れです。

すべての問題は，日本数学オリンピック財団のHPで公開されています。

第31回(2021年)JMO予選の問題 (imojp.org)

美しい循環小数

循環小数とは　0.272727・・・ように，同じパターンの繰り返しが永遠に続く小数です。

これは3÷11を計算すると登場します。

循環小数で最も基本的なのが

（a/bで分数を表します。aが分子でbが分母です。）

1/9＝1÷9＝0.11111・・・

です。

高校3年で習う，無限級数を用いると

（a^bで累乗を表します。aのb乗）

1/9＝1/10＋(1/10)^2＋（1/10)^3＋・・・・

で証明できます。

前置きはここまで，今日は美しい循環小数をご紹介します。

横山明日希氏のtwitterで見つけて，証明や一般化をやってみました。

1/81＝1÷81

＝0. 012345679 012345679・・・・・ 

と012345679が繰り返されます。8があれば完璧です。

これは電卓で確かめられます。

さらに

1/9801＝1÷9801

＝0. 00 01 02 03 04 05 06 07 ～96 97 99 00 01 ・・・・　

と98を除く00～99までが順に登場します。

これはエクセルでも無理です。プログラムを組まないと。

分母の数字をよく見ると，

81＝9^2，9801＝99＾2，です。

そこで，999^2＝998001を分母にすると，
 1/998001 

＝0. 000 001 002 003 004 005 ～ 996 997 999 000 001 ・・・
見事に998を除く000～999までが順に登場します。

どうしてこんなことが起こるのでしょうか

まずは1/81について

1/81＝(1/9)×(1/9)

　　　＝0.1111・・・×0.1111・・・

　　　＝（0.1＋0.01＋0.001＋0.0001＋・・・）×0.1111・・・
　　　＝0.01111・・・＋0.001111・・・＋0.0001111・・・＋0.00001111・・・＋・・・・
　筆算形式に書いてみます。　ただし，繰り上がりを無視して，1つの位に10以上の数字を詰め込んでいます。

Aは繰り上がりを全く無視して1つの位に10以上の数を詰め込んでいます。
例えば，小数第17位には16が，小数第1000位には999が入っています。

BはAから1だけ繰り上がりをした結果です。
例えば，小数第10位は「9」ですが，小数第11位が「10」なのでそこから繰り上がりの1が来て「10」になり，自身は小数9位に1を繰り上げます。その結果小数第10位は「9」になります。
小数第9位は「8」ですが，小数第10位から繰り上がりの1が来て「9」になります。ここが防波堤になり，それより左側の位（小数第1位から第8位）は繰り上がりの影響を受けません。
小数第21は「20」なので，普通なら繰り上がりで2を出すところですが，我慢して10だけを小数第20位に渡します。小数第22位から繰り上がりの1が来るので「11」になります。

CはBから1だけ繰り上がりをした結果です。

以下この繰り返しをしていきます。

すると黄色の部分が同じことの繰り返しになっていきます。

したがって，012345679の繰り返しが生まれます。
 

次は，1/8901 について考察します。
こんどは 1/99＝0.01 01 01 01・・・がベースになります。「01」の繰り返しなので2桁ずつ区切って考えます。
 1/8901＝（1/99） ×（1/99） 

　　　　　＝0.01 01 01 01・・・×0.01 01 01 01・・・
    　　　＝（0.01＋0.00 01＋0.00 00 01＋0.00 00 00 01＋・・・）×0.01 01 01 01・・・
    　　　＝0.00 01 01 01 01・・・＋0. 00 00 01 01 01 01・・・＋0. 00 00 00 01 01 01 01・・・＋

今度も表にしてみますが，2桁ずつの塊で考えます。2桁ずつなので，100になると上の塊に1繰り上がるという仕組みです。

Aは繰り上がりを全く無視しています。
Bはとりあえず100以上は1繰り上がるという操作です。
CはBの並びで，100以上は1繰り上がるという操作です。
すると，黄色い部分は同じパターンの繰り返しになることが分かります。したがって，98を除く00～99までが順に並んだ小数になります。
 

ここから先は，大学受験理系レベルですが

（1/999・・・99）＾2も等比級数を用いて証明ができます。

一般的には，1/(N－1)　をN進法の小数で表すと0.111・・・なので

1/(N－1)^2をN進法の小数で表すと0.012・・・（N－1)　ただし（N－2）を除くが成り立ちます。