東大入試 数学 文系 第２問
【問題】
xy平面上に、海を隔てて２国Ａ，Ｂがある。
Ａの領土は不等式
x^2 + (y －7)^2 ≦ 4
で表される領域であり、Ｂの領土は不等式
y ≦ 0
で表される領域であるという。
いまＡの領海を次の３条件(1)，(2)，(3)を満たす点Ｐ全体の集合と定める：
(1) ＰはＡ，Ｂ いずれの領土にも含まれない。
(2) ＰとＡの領土との間の最短距離は 4より小さい。
(3) ＰとＡの領土との間の最短距離は、ＰとＢの領土との間の最短距離より小さい。
Ａの領海の面積を求めよ。
【解説】
まず，「領土との間の最短距離」という部分を答案にははっきりと書くべきです。
B国の国境線はy＝0 という直線なので，「点と直線の距離」が「領土との最短距離」になります。
すなわちP（X，Y）とおくと，
「領土との最短距離」＝｜Y｜，
ただし，Yは実質正であるので，
「領土との最短距離」＝Y・・・①.
A国の国境線は x^2 + (y －7)^2 ＝ 4，つまり中心A（0，7）半径2の円周です。
このとき，点Pと中心Aを結ぶ直線と円周との交点をQとすると，
「領土との最短距離」＝PQ です。
なぜなら，円周上のQ以外の点をTとすると，
△APTにおいて三角不等式より。
AP＜AT＋TP・・・②，
AQ＝AT＝2（半径）なので，
②の両辺から2を引くと，QP＜TPとなり，PQが最短距離であることが示されます。
したがって，P（X，Y）のとき
「領土との最短距離」＝PQ＝AP－2＝√{X^2＋(Y－7）^2｝－2・・・③。
次に，P（X，Y）とおいて，条件を満たす不等式を作っていきます。
条件（1）より
X^2＋（Y－7）^2＞4・・・④，Y＞0・・・⑤，
条件（2）と③より
√{X^2＋(Y－7）^2｝－2＜4・・・⑥，
条件（3）と①③より
√{X^2＋(Y－7）^2｝－2＜Y・・・⑦
。
④～⑦を整理すると
中心（0，7）で半径2の円より外で半径6の円より内側のドーナツ部分，
放物線y＝（x^2＋45）/18 より上の部分，
になります。
以上を図示して，面積を計算すると
（答）20π＋15√3