補助線・円・相似 を思いつかない
私は図形センスがないという人が
関数だけをを使って力ずくで解くと次のようになります。
ラ・サール高校の入試問題です。
問題はこちら
http://ameblo.jp/miraclemaster/entry-10881732763.html
【準備】
関数の式をさらっと求めることができるように、公式を使います。
是非覚えてください。
点（p，q）を通り、傾きmの直線の式
※ y－q＝m（x－p）
2点（p1、q1） （p2、q2）を通る直線の式
傾きを m＝（y座標の差）/（x座標の差）＝（q1－q2）/（p1－p2） でもとめてから
※ y－q1＝m（x－p1）
また、図形問題なので、線分の長さを求めるために
2点間の距離の公式
2点（p1、q1） （p2、q2）の距離
√｛（p1－p2)^2＋（q1－q2)^2｝
√｛（x座標の差)^2＋(y座標の差)^2｝
【解説】
A（0、0）
AB=2√29なので
B（2√29、0）
△ABDは直角二等辺三角形なので
C（√29、√29）
＜Cの座標について＞
C（p、q）とおくと
AC＝10 より
(p-0)^2＋(q-0)^2＝10＾2 ・・・①
BC＝4 より
(p-2√29)^2＋(q-0)^2＝4^2 ・・・②
式を展開して整理すると
① p^2＋q^2＝100
② p^2－4√29p＋q^2＝－100
①－②より
4√29p＝200
p＝50/√29＝50/29・√29
①に代入して、q＞0より
q＝20/29・√29
C（50/29・√29、20/29・√29）
これで、A,B,C,Dの座標がすべてそろいました。
あとは、直線の式を出して交点を求めるという作業で E、Fの座標を求め、距離の公式で線分の長さを出していきます。
＜直線ACの式＞
2点 A（0,0） C（50/29・√29、20/29・√29） を通る直線
傾き＝20/29・√29 ÷ 50/29・√29＝2/5
y－0＝2/5（x-0)
y＝2/5x ・・・③
＜直線DBの式＞
2点 D（√29、√29） B（2√29、0） を通る直線
傾き＝－√29/√29＝-1
y－0＝-1・（x－2√29）
y＝－x＋2√29 ・・・④
＜Eの座標＞
③④を連立させて
2/5x＝－x＋2√29
2x＝－5x＋10√29
7x＝10√29
x＝10/7・√29
y＝2/5×10/7・√29＝4/7・√29
E（10/7・√29、4/7・√29）
＜DE、EBの長さ～比＞
D（√29、√29）、E（10/7・√29、4/7・√29）
DE＝√｛（-3/7・√29)^2＋（3/7・√29）＾2｝
＝3/7・√58
E（10/7・√29、4/7・√29）、B（2√29、0）
EB＝√｛(-4/7・√29)^2＋(4/7・√29）^2｝
＝4/7・√58
∴ DE：EB＝3：4
＜直線DCの式＞
2点D（√29、√29）、C（50/29・√29、20/29・√29） を通る直線
傾き＝9/29・√29 ÷ (－21/29・√29) ＝－3/7
y－√29＝－3/7（x－√29）
y＝－3/7x＋10/7・√29 ・・・⑤
＜Fの座標＞
⑤式とx軸の交点なので
0＝－3/7x＋10/7・√29
x＝10/3・√29
F（10/3・√29、0）
＜DC、CFの長さ～比＞
D（√29、√29）、C（50/29・√29、20/29・√29）
DC＝√｛（-21/29・√29）^2＋(9/29・√29)}^2
＝3√2
C（50/29・√29、20/29・√29）、F（10/3・√29、0）
CF＝√｛( -140/87・√29)^2＋（20/29・√29)^2｝
＝20/3・√2
∴ DC：CF＝9：20
＜△CBFの面積＞
底辺＝BF＝10/3・√29－2√29＝4/3・√29
高さ＝Cのy座標＝20/29・√29
4/3・√29×20/29・√29÷2＝40/3
計算はハードですが、気づかず0点よりはまし。