予想問題1
文理共通
x-y座標平面において，以下の条件（1）～（3）を同時に満たすように長方形を作るとき，長方形の面積をすべて求めよ。
条件
（1）長方形の頂点のうち，ちょうど2点はx軸上にあり，それら2点のx座標の差は2√5である。
（2）長方形の頂点のうち，ちょうど2点は放物線 y＝x^2－2 上にある。
（3）x軸上または放物線y＝x^2－2上以外に，長方形の頂点はない。
解答
図のようにx軸上の2頂点をx座標の小さい順にA，B
放物線上の2頂点をx座標の小さい順にP，Qとおく。
（ア）線分ABが長方形の辺になるとき（上の図）
PQ//x軸なので，放物線の対称性と，A，Bのx座標の差が2√5であることから
A（-√5，0）， B（√5，0）
y＝（√5)^2－2＝3なので
P（-√5，3）， Q（√5，3）
長方形の面積＝2√5×3＝6√5
（イ）線分ABが長方形の対角線になるとき（下の図）
ABの中点をMとし，そのx座標をmとおくと
A（m-√5，0）， B（m+√5，0）
長方形の性質より，Mは対角線PQの中点でもあるので
P（m-p，(m-p)^2-2）， Q（m+p，(m+p)^2-2）
ただし，p＞0
と表すことができる。
MP＝√5， MQ＝√5 より
p^2+(m^2+p^2-2-2mp)^2=5 ・・・①
p^2+(m^2+p^2-2+2mp)^2=5 ・・・②
①－②より
4mp(m^2+p^2-2)=0
m=0 または p=0 または m^2+p^2=2
m=0のときはA（-√5，0），B（√5，0）になるので不適
p＝0は不適
よってm^2+p^2＝2 ・・・③
③を①に代入すると
p^2＋4m^2p^2＝5
さらに
p^2+4（2-p^2)p^2＝5
整理して，因数分解すると
（4p^2-5）（p^2-1）＝0
p>0より
p＝√5/2，1
③より
p＝√5/2，m＝±√3/2
このときQ（±√3/2＋√5/2，±√15/2）
長方形の面積＝△ABP×2＝2√5×√15/2＝5√3
p＝1，m＝±1
このときQ（2，2）またはQ(0，-2）
長方形の面積＝△ABP×2＝2√5×2＝4√5