【問題】
3つの方程式
① x^3＋x＋5p＝0
② x^3＋x^2＋qx－3p^2＝0
③ x^2－2x＋q＝0
において，p，qは実数でp＞0とする。また，①②③には共通の解が存在する。このとき，p，qの値と①の解を全て求めなさい。
【解説】
共通解をαとおくと
① α^3＋α＋5p＝0
② α^3＋α^2＋qα－3p^2＝0
③ α^2－2α＋q＝0
となります。xをαに置き換えただけですが，xのままで計算を進めると大減点です。
あくまでも，共通解αが①②③を同時に満たすので，このような置き換えは必須です。
あとは，①～③を連立方程式と見て
α，p，qを求めればよいのですが・・・
連立の3次方程式なので，ちょっと大変そうです。
セオリー通り，次数の高いものから消していきます。
①－②より（α^3を消去するため）
－α^2＋（1-q）α＋5p＋3q^2＝0 ・・・④
③＋④より（α^2を消去するため）
（-1-q）α＋5p＋3q^2＋q＝0
α＝（5p＋3q^2＋q)/（q＋1） ・・・⑤
⑤を・・・・・①～③のどれに代入しても，すごい式になりそう？？？
そこで，計算の方針転換
①～③でp，qを消去してまずαを求めます。
①より p＝-（α^3＋α）/5 ・・・⑥
③より q＝-α＾2＋2α ・・・⑦
これらを②に代入して
α^3＋α^2＋（-α^2＋2α)α－3/25・（α^3＋α)^2＝0
3α^2－3/25・α^2（α^2＋1）^2＝0
条件，p＞0 と①式の関係より，α≠0なので，両辺を3α^2で割ると
1－1/25・（α^2＋1)^2＝0
（α^2＋1）^2＝25
α^2＋1＝5
α＝±2
⑥に代入して
α＝2のとき，p＝-2 不適
α＝-2のとき p＝2 OK
⑦にα＝-2を代入して
q＝-8
元の方程式①は
x^3＋x＋10＝0
（x＋2）（x^2－2x＋5）＝0
x＝-2，1±2i