【問題】a>0 ,b>0, c>0, d>0 のとき，連立方程式
ax＋by＝2
cx－dy＝1
の解を（x,y）とする。
hを0と1の間の数として
1-h＜a＜1＋h
1-h＜b＜1＋h
2-h＜c＜2＋h
1-h＜d＜1＋h
の範囲にあるときの解xの存在範囲を
L＜x＜M
とすると，hが0に近づくときの
（M-1)/h と （1-L）/h の極限を求めよ。
【解説】
連立方程式を普通に解くと
ax＋by＝2 ・・・①
cx－dy＝1 ・・・②
①×d＋②×b より
（ad＋bc）x＝2d＋b
a,b,c,d＞0なので，xの係数＞0
x＝（2d＋b）/（ad+bc) ・・・③
a＝ほぼ1，b＝ほぼ1，c＝ほぼ2，d＝ほぼ1
という前提で，LとMをhを含んだ式で表します。
まず，b,c,dを固定して aを変化させたとき
③より，aは分母だけにあり，その係数dはおおよそ1なので
aが増加→xは減少， aが減少→xは増加
します。よって，
a＝1+hのとき L
a＝1-hのとき M
a,c,dを固定して bを変化させると
bは分子にも分母にもありますが
分子のbの係数は1
分母のbの係数はおおよそ2なので，
bが増加すると，分母の増え方が大きい→xは減少
bが減少すると，分母の減り方が大きい→xは増加
b＝1+hのとき L
b＝1-hのとき M
a,b,dを固定して cを変化させると
cは分母だけにあり，その係数bはおおよそ1なので
cが増加→xは減少， cが減少→xは増加
します。よって
c＝2+hのとき L
c＝2-hのとき M
a,b,cを固定してdを変化ささる
dは分子分母ともにあるが
分子のdの係数は2
分母のdの係数はおおよそ1なので
dが増加，分子の増加が大きい→xは増加
dが減少，分子の減少が大きい→xは減少
d＝1＋hのとき M
d＝1-hのとき L
以上より
L＝｛2（1-h)＋(1+h）｝/｛（1+h）（1-h)＋（1+h)（2+h)｝
＝（3-h)/（3h＋3）
（1-L）/h＝4/（3h+3）→4/3
M＝｛2（1+h)＋(1-h）｝/｛（1-h）（1+h)＋（1-h)（2-h)｝
＝（3+ｈ）/（-3ｈ+3）
（M-1）/h＝4/（-3h+3）→4/3