【問題】a>0 ,b>0, c>0, d>0 のとき,連立方程式
ax+by=2
cx-dy=1
の解を(x,y)とする。
hを0と1の間の数として
1-h<a<1+h
1-h<b<1+h
2-h<c<2+h
1-h<d<1+h
の範囲にあるときの解xの存在範囲を
L<x<M
とすると,hが0に近づくときの
(M-1)/h と (1-L)/h の極限を求めよ。
【解説】
連立方程式を普通に解くと
ax+by=2 ・・・①
cx-dy=1 ・・・②
①×d+②×b より
(ad+bc)x=2d+b
a,b,c,d>0なので,xの係数>0
x=(2d+b)/(ad+bc) ・・・③
a=ほぼ1,b=ほぼ1,c=ほぼ2,d=ほぼ1
という前提で,LとMをhを含んだ式で表します。
まず,b,c,dを固定して aを変化させたとき
③より,aは分母だけにあり,その係数dはおおよそ1なので
aが増加→xは減少, aが減少→xは増加
します。よって,
a=1+hのとき L
a=1-hのとき M
a,c,dを固定して bを変化させると
bは分子にも分母にもありますが
分子のbの係数は1
分母のbの係数はおおよそ2なので,
bが増加すると,分母の増え方が大きい→xは減少
bが減少すると,分母の減り方が大きい→xは増加
b=1+hのとき L
b=1-hのとき M
a,b,dを固定して cを変化させると
cは分母だけにあり,その係数bはおおよそ1なので
cが増加→xは減少, cが減少→xは増加
します。よって
c=2+hのとき L
c=2-hのとき M
a,b,cを固定してdを変化ささる
dは分子分母ともにあるが
分子のdの係数は2
分母のdの係数はおおよそ1なので
dが増加,分子の増加が大きい→xは増加
dが減少,分子の減少が大きい→xは減少
d=1+hのとき M
d=1-hのとき L
以上より
L={2(1-h)+(1+h)}/{(1+h)(1-h)+(1+h)(2+h)}
=(3-h)/(3h+3)
(1-L)/h=4/(3h+3)→4/3
M={2(1+h)+(1-h)}/{(1-h)(1+h)+(1-h)(2-h)}
=(3+h)/(-3h+3)
(M-1)/h=4/(-3h+3)→4/3