東大入試数学
の解答です。
（1）
Aにいて１回でゴールする確率は，1か5の目がでるときなので， a[1]＝1/3
Bにいて１回でゴールする確率は，2か4の目がでるときなので， b[1]＝1/3
Cにいて1回でゴールする確率は，3の目がでるときなので， c[1]＝1/6
対称性より，DにいるときはBと同様，EにいるときはAと同様です。
Aにいるとき，サイコロの目によってどこに行くかを分類すると
「1」 ゴール
「2」 CかEに行けるが，有利なEへ行く
「3」 Dしかない
「4」 EかCにいけるが，有利なEへ行く
「5」 ゴール
「6」 Aに戻ってくるしかない
従って
Aにいてn回以内でゴールする
＝「1か5が出て1回でゴール」（確率1/3）
＋「2か4が出てEから(n-1)回以内でゴール」（確率1/3・a[n-1]）
＋「3が出てDから(n-1)回以内でゴール」（確率1/6・b[n-1]）
＋「6が出てAから(n-1)回以内でゴール」（確率1/6・a[n-1]）
a[n]＝1/3＋1/2・a[n-1]＋1/6・b[n-1] ・・・①
Bにいてn回以内でゴールする
＝「2か4が出て1回でゴール」（確率1/3）
＋「1か5が出てAから(n-1)回以内でゴール」（確率1/3・a[n-1]）
＋「3が出てEから(n-1)回以内でゴール」（確率1/6・a[n-1]）
＋「6が出てBから(n-1)回以内でゴール」（確率1/6・b[n-1]）
b[n]＝1/3＋1/2・a[n-1]＋1/6・b[n-1] ・・・②
①②より
a[n]＝b[n] ・・・③
（2） まずa[n]を求めておく
①③より
a[n]＝1/3＋2/3・a[n-1]
a[n]-1＝2/3（a[n-1]-1）
a[1]＝1/3なので
｛a[n]-1}は，初項-2/3，公比2/3の等差数列
∴ a[n]＝1-(2/3)^n ・・・④
Cにいてn回以内でゴールする
＝「3が出て1回でゴール」（確率1/6）
＋「1，2，4，5が出てAまたはBから(n-1)回以内でゴール」（確率2/3・a[n-1]）
＋「6が出てCから(n-1)回以内でゴール」（確率1/6・c[n-1]）
c[n]＝1/6＋2/3・a[n-1]＋1/6・c[n-1]
④を代入して
c[n]-1/6・c[n-1]＝5/6-（2/3)^n
両辺を6^n倍して
6^n・c[n]＝p[n] とおくと
p[n]-p[n-1]＝5/6・6^n－4^n
（p[n]-p[n-1])+(p[n-1]-p[n-2])+・・・+(p[3]-p[2])+(p[2]-p[1])
=5/6(6^n+6^(n-1)+・・・+6^3+6^2)-(4^n+4^(n-1)+・・・+4^3+4^2)
p[n]-p[1]=5/6・36(6^(n-1)-1)/(6-1)-16(4^(n-1)-1)/(4-1)
6^n・c[n]-6・1/6＝6^n-6-4/3・4^n+16/3
6^n・c[n]＝6^n-4/3・4^n+1/3
c[n]＝1-4/3・（2/3)^n+1/3・（1/6)^n
（3）
n≧2のとき
ちょうどn回でゴールする確率はc[n]－c[n-1] なので
期待値＝lim[n→∞]E(n)
E(n)＝1・c[1]＋2（c[2]-c[1]）＋3（c[3]-c[2]）＋・・・＋n(c[n]-c[n-1])
＝-｛c[1]＋c[2]＋・・・＋c[n-1]｝＋nc[n]
＝-(n-1)+8/9・（1-（2/3)^(n-1)）/（1-2/3）-1/18・（1-（1/6)^(n-1))/(1-1/6)＋n-4n/3・（2/3)^n+n/3・（1/6)^n
n→∞にすると
期待値＝18/5