高校入試の難問 ラ・サール

今回は，普通に計算してもできるが。

作問の背景に，高校で習う数学の公式が見え隠れしているという問題です。

センター試験に登場してもおかしくないパターンです。

2006年ラ・サール

【問題】

　200の正の約数1，2，4，・・・，200について考える。次の問いに答えよ。

（1）約数全ての和を

　　S＝1＋2＋4＋・・・＋100＋200

　とおく，Sを素因数分解せよ。

（2）　約数全ての2乗の和を

　　T＝1²＋2²＋4²＋・・・＋100²＋200²

とおく，Tを素因数分解せよ・

（3）　約数全ての逆数の和

　　U＝1/1＋1/2＋1/4＋・・・＋1/100＋1/200

　とおく，Uを求めよ。

（4）約数全ての逆数の2乗の和を

　　V＝（1/1）²＋（1/2）²＋（1/4）²＋・・・＋（1/100）²＋（1/200）²

とおく。　Vを求めよ。

【解説】

　約数の和を普通に計算すると

S＝1＋2＋4＋5＋8＋10＋20＋25＋40＋50＋100＋200＝465

です。この数を素因数分解する・・・という手順で解くことができます。

公式を使うと

　まず，200を素因数分解して　2³×5²

　S＝（1＋2¹＋2²＋2³）×（1＋5¹＋5²）　・・・①

　　＝（1＋2＋4＋8）（1＋5＋25）＝15×31＝465

　と計算できます。

　Sの素因数分解が答なので，15×31から出発して　（1）　答　3×5×31

公式の意味は，展開をするとわかります。

　①式を展開すると

　1×1＋1×5¹＋1×5²

＋2¹×1＋2¹×5¹＋2¹×5²

＋2²×1＋2²×5¹＋2²×5²

＋2³×1＋2³×5¹＋2³×5²

になり，12個の項が出てきます。一つ一つの項が，200に対応しているので，①式は200の約数の和に等しくなります。

2乗の和は，各項を2乗するので

T＝（1＋2²＋2⁴＋2⁶）×（1＋5²＋5⁴）＝（1＋4＋16＋64）（1＋25＋625）＝85×651

　＝5×17×3×7×31　　　（2）　答　3×5×7×17×31

逆数の和　U　を200倍すると

200U＝200＋100＋50＋・・・＋2＋1

たす順番が逆になった，約数の和になります。

200U＝465　　　（3）答　U＝93/40

Vを　200²倍（40000倍）すると

40000V＝200²＋100²＋50²＋・・・＋2²＋1²

Tになります。

40000V＝3×5×7×17×31　（4）答　V＝11067/8000