【問題】
10＾210/（10＾10＋3） の整数部分の桁数と，1の位の数字を求めよ。
ただし，3＾21＝10460353203 を用いてよい。
【解説】
シンプルな問題で，超根気強い小学生が
1000・・・0が210個 ÷ 10000000003
を計算して解いてしまうかもしれません。
A＝10＾210/（10＾10＋3） とおきます。
「桁数について」
10＾210/10＾10＝10＾200＝100・・・0が200個＝201桁
10＾210/10＾11＝10＾199＝200桁
10＾10＜10＾10＋3＜10＾11なので
10＾199＜A＜10＾200 したがって，Aは200桁です。
「1の位について」
ヒントの3＾21 は・・・？
10＾10＝xとおくと 10＾210＝x^21
A＝ｘ＾21/（x＋3）
A＋3＾21/（x＋3）＝（x^21＋3＾21）/(x＋3）
この右辺は割り切れて
x^20－x^19・3＋x^18・3＾2－x^17・3＾3＋・・・－x・3＾19＋3＾20
＝x（x^19－x^18・3＋x^17・3＾2－x^16・3＾3＋・・・－3＾19）＋3＾20
＝（1の位が0の数）＋3＾20
3＾20＝10460353203÷3＝1の位は1 より
右辺の1の位＝1
一方
3＾21/（x＋3）＝10460353203/10000000003
10000000003×1.05＝10500000003.15
10000000003×1.01＝10100000003.03
なので
1.01＜3＾21/（x＋3）＜1.05
「・・・・・・1」－1.05＜A＜「・・・・・・1」－1.01
「・・・・・・9.9・・・」＜A＜「・・・・・・9.9・・・」
∴ 1の位は9