【問題】
数列｛an} において，a1＝1 であり，n≧2に対して an は，次の条件（1），（2）をみたす自然数のうち最小のものであるという。
（1） an は， a1， ・・・・・，an-1 のどの項とも異なる。
（2） a1， ・・・・・，an-1 のうちから重複なくどのように項を取り出しても，それらの和が an に等しくなることはない。
このとき，an をnで表し，その理由を述べよ。
【解説】
自分が受験したときの問１で，一番印象に残っている問題です。実験して予想して証明する，という手順で解く問題です。 当時，うまく予想できたので，「いける」と思い調子がよくなったきっかけの問題でした。
予想するだけでも，部分点はもらえるので 受験生の方は このようなパターンの問題を見つけてスタートすることをお勧めします。
実験します。
a1＝1
a2＝a1と異なる自然数のうちで最小＝2
a3＝a1，a2と異なる→｛1，2｝はNG
｛1，2｝から和を作る→｛3｝はNG
＝｛1，2，3｝以外で最小＝4
a4＝｛1，2，4｝はNG
｛1，2，4｝から和を作る→｛3，5，6，7｝はNG
＝｛1，2，3，4，5，6，7｝以外で最小＝8
an＝2＾（ｎ-1） と表せます。
その理由を帰納法で示します。
ak＝2^(k-1) とすると
a1，・・・・・，ak-1 のうちから条件（1）（2）でつくった数は
1，2，・・・・，2＾（k-1）－1
の全がそろっていることになる。
ak+1＝｛1，2，・・・・，2＾（k-1）－1｝ ，2^(k-1)， ｛1，2，・・・・，2＾（k-1）－1｝＋2^(k-1) 以外 で最小
＝2＾(k-1)－1＋2^(k-1)＋1＝2・2＾（ｋ-1）＝2^k
よって an＝2＾（ｎ-1）
ところで，実験をしているうちに 2進法が連想できたでしょうか。
連想できた人は，実力十分です。