大正時代の高等学校（今の大学相当）の入試問題です。
東大でもそっくりな問題が昭和30年代に登場しています。
【問題】次の連立方程式を解きなさい
y^2＋z^2＋yｚ＝19 ・・・①
z^2＋x＾2＋zx＝13 ・・・②
x＾2＋ｙ＾2＋xy＝7 ・・・③
【解説】
文字を消去しようとしてもうまくいきません。
基本対称式で表そうとしても？？？です。
①－②より 因数分解をすると
(y－x)(x＋y＋z）＝6
②－③より
(z－y）（x＋y＋z)＝6
ここで
x＋y＋z＝3t ・・・④
とおくと
y－x＝2/t ・・・⑤
z－y＝2/t ・・・⑥
⑤より y＝x＋2/t
⑤⑥より z＝x＋4/t
④に代入して
x＋x＋2/t＋x＋4/t＝3t
x＝t－2/t ・・・⑦
⑦を⑤⑥に代入すると
y＝t ・・・⑧
z＝t＋2/t ・・・⑨
⑦⑧を③に代入して
t^2－4＋4/ｔ＾2＋ｔ＾2＋ｔ＾2－2＝7 ｔ＾2をかけて
3t^4－13ｔ＾2＋4＝0
（3t^2－1）（t^2－4）＝0
t＝±1/√3， ±2
⑦⑧⑨にそれぞれ代入すると 4組の解が出ます。
（1，2，3） （-1，-2，-3） （-5√3/3，√3/3，7√3/3） （5√3/3，-√3/3，-7√3/3）
この問題の背景には，「3辺 √7，√13，√19 の△ABC の内部に点Pをとり
AP＋BP＋CPの最小値を求めよ。」という図形的な意味があります。
x,y,zともに正となるような3t の値がその最小値で，そのときの点Pをフェルマー点といいます。
古い問題ですが，東大を目指す人には，よい演習問題だと思います。
センター試験レベルよりは上ですが。
この問題は，Kageさんからメッセージを頂戴したことがきっかけです。
ネタ元は http://ameblo.jp/kageklavier/entry-10358435129.html