【問題】
自然数n，pに対し，n^p を十進法で書いたときの1の位の数を fp（n) で表す。
（1） nが自然数の全体を動くとき f2（n)の取る値を全て求めよ。
（2） あらゆる自然数nに対して，f5（n)＝f1（n) が成り立つことを証明せよ。
（3） nが自然数の全体を動くとき， f100（n) の取る値を全部求めよ。
【解説】
まずは， fp（n) を具体的に説明します。
例えば，12＾3＝1728 なので
f3（12)＝「1728」の1の位＝8
です。
（1） fp（n) はnの1の位の数だけで決まります。
2＾3＝8， 12＾3＝1728， 152＾3＝3511808
まずは，この事実を証明しておきます。
nの1の位の数字をxとすると
n＝10A＋x
と書けます。
n^p＝（10A＋x）^p を二項展開すると
＝（10A)^p＋pC1（10A)^(p-1)・x＋pC2（10A)＾(p-2)・x^2＋・・・＋pC(p-1)（10A)・x^(p-1)＋x^p
＝「10の倍数」＋x^p
∴n^pの1の位＝（nの1の位）^p
fp（n) は，n＝0,1,2,・・・,9 の10通りのみを調査すれば全てがわかることになります。
0＾2＝0， 1＾2＝1， 2＾2＝4， 3＾2＝9， 4＾2＝16
5＾2＝25，6＾2＝36， 7＾2＝49，8＾2＝64，9＾2＝81
（答） 0，1，4，5，6，9
（2） n^5の1の位＝nの1の位 を証明すればよいので
これも，n＝0，1，2，・・・，9 でしらみつぶしに調べればOKです。
ここでは，トレーニングとして帰納法を使って証明してみます。
n^5の1の位＝nの1の位 ということは
（n^5－n）の1の位＝0
「n^5－n＝10の倍数」を証明します。
n＝1のとき，1^5－1＝0＝10の倍数
n＝kのとき，k^5－k＝10A と仮定すると
n＝k＋1 のとき
（k+1)^5－（k＋1）
＝（k^5＋5k＾4＋10k＾3＋10k^2＋5k＋1）－(k＋1）
＝（ｋ＾5－k）＋10（k＾3＋k^2)＋5（ｋ＾4＋k）
＝10A＋10（ｋ＾3＋k)＋5k（ｋ＋1）（k^2－k＋1)
ここで，kと(k＋1)は連続する整数なので，どちらか一方は必ず偶数になる
よって，5ｋ（ｋ＋1）＝5×偶数＝10の倍数
∴（k+1)^5－（k＋1）＝10の倍数
∴ すべての自然数nで n^5－n＝10の倍数である。
（3） （2）の結果を利用します。
n^100＝（n^20)＾5 なので
n^100の1の位＝（n^20)＾5の1の位 ＜ここで（2）の結果より＞
＝n^20の1の位
＝（n^4)^5の1の位
＝n^4の1の位
n^2の1の位＝0，1，4，5，6，9だったので
さらに2乗すれば，4乗の1の位がわかる
0^2＝0，1＾2＝1，4＾2＝16，5＾2＝25，6＾2＝36，9＾2＝81
（答） 0，1，5，6