【問題】
3人でジャンケンをして勝者をきめることにする。たとえば，1人が"紙"を出し，他の2人が”石"を出せば，ただ一回でちょうど1人の勝者がきまることになる。 3人でジャンケンをして，負けた人は次の回に参加しないことにして，ちょうど1人の勝者がきまるまで，ジャンケンをくり返すことにする。 このとき，k回目に，はじめてちょうど1人の勝者がきまる確率を求めよ。
【解説】
"紙","石"という表現が時代を感じさせます。
3人でジャンケンするとき
（ア）勝者が1人
（イ）勝者が2人
（ウ）あいこ
の可能性があり，それぞれの確率をまず求めておきます。
3人とも3通りの出し方があるので，全体では3×3×3＝27通り
（ア） Aだけが勝つとすれば，（グー，チョキ，チョキ），（チョキ，パー，パー），（パー，グー，グー）の3通りがあり， Bだけが勝つ場合も3通り，Cだけも3通りなので， 3×3＝9通り
したがって，確率9/27＝1/3 です。
（イ） Aだけが負けるとすれば，（パー，チョキ，チョキ），（グー，パー，パー），（チョキ，グー，グー）の3通りがあり， Bだけが負ける場合も3通り，Cだけも3通りなので， 3×3＝9通り
したがって，確率9/27＝1/3 です。
（ウ），アとイの場合以外があいこなので，1－1/3－1/3＝1/3 です。
次に，2人でジャンケンをするときも考えて
（エ）勝者が決まるのは，6/9＝2/3
（オ）あいこ 1－2/3＝1/3
k回目にただ１人の勝者がきまるのは，次の(a),(b)の2つの場合があります。
（ａ） 3人のあいこが続き最後に1人になる場合。
k-1回目まで３人のあいこが続き，k回目で１人にきまる。
（ウ）の確率＾(k-1)×（ア）の確率
＝（1/3）^(k-1)×1/3
＝（1/3）＾k ・・・①
（b） 途中で3人から2人になり最後に1人になる場合。
3人から2人に絞られるのは，1回目，2回目，・・・・，（k-1)回目のどれかですが
これをj回目として計算すると。
j-1回目まであいこ，j回目で2人になり，（j＋1)～（k-1)回はあいこ，k回目で1人にきまる
（ウ）の確率^（j-1)×（イ）の確率×（オ）の確率＾(k-j-1）×（エ）の確率
＝（1/3）^(j-1)×1/3×（1/3）^(k-j-1)×2/3
＝2×（1/3）^k
jの値は1,2,3・・・(k-1) の(k-1)通りあるので
確率＝(k-1)×2×(1/3)^k ・・・②
最後に,①式＋②式より
（2k-1)/(3^k) ・・・（答）
※ aのb乗を a^b と表しています。