資料：
現代数学における乗法の定義では， 2つの因数には違いがあり，因数の順序があること。
（１）デデキント(1880)『数とは何かそして何であるべきか？』（第6版1930）ちくま学芸文庫121頁
数の乗算 提議
m.1=m
（2－1）ペアノ（1889）『算術原理』https://books.google.co.jp/books?id=v4tBTBlU05sC&pg=PAPA83&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false 96頁
乗法 定義
１． a∊N . Ɔ . a×1＝a
2. a,b∊N . Ɔ . a×(b+1)＝a×b＋a.
ab＝a×b ; ab＋c＝（ab）+c ; abc＝（ab）c.
（2－2）ペアノ（1891）『数の概念について』（共立出版『現代数学の系譜２』131頁）
積の定義
a,b∊n. ⊃. a×b＝0［（+a）b］
「a×bとは0に右作用演算（+a）をb回だけほどこしたものとする」（小野勝次解説）
(3-1)高木貞治（1904）『新式算術講義』ちくま学芸文庫26頁
「同一の数aを幾回も加へ合はせて得らるべき和は此数と加へ合すべき回数bとによりて全く定
まるべし。（略）此算法は即ち乗法にしてaは被乗数，bは乗数，求め得たる和はa,bを乗したる積
（a×b又はab）なり。（略）乗法の意義は次の式により明に書き表はさる。
a×1＝a
a×b＝a＋a＋a＋…＋a
(1) (2) (3) … (b)
（3－2）高木貞治（1949）『数の概念』講談社BLUEBACKS 38頁
乗法 定理
任意の数aに関して，ｘの函数f(x,a)が
ｆ（0,a）=0
なる条件によって，一意的に定められる。
f(x,a)が即ち積xaである。（乗法の定義）
（4）彌永昌吉（1972）『数の体系』岩波新書78頁
自然数の乗法 定義
x・1＝x，
x(y+1)＝xy+x
（5）遠山啓（1972）『代数的構造』（日本評論社新版1996）113頁
積
x・y（xyとも書く）はつぎのように定義する。
x・1＝x，
x・y＋＝xy+x
（6）足立恒雄（2002）『数 体系と歴史』朝倉書店
定義（自然数の乗法）
まず任意の自然数mと0との積m・0は0であると定義する。
m・0=0
次に，ｍとｎの積m・nが定義されてとき，mとn´の積m・n´を
によって定義する。
以上，（１）から（６）の8文献の乗法の定義が，表現に違いがあっても，同趣旨になっているのは，いずれもがペアノの公理系に立脚しているからでしょう。
因数の順序は，高木1949のみが，乗数・被乗数で，他はすべて，被乗数・乗数