mixiの「数学コミュ」に「×を＋より先にする理由」というトピが立った。
http://mixi.jp/view_bbs.pl?id=29894026&comment_count=63&comm_id=63370
数学的にはどちらでもいいはずで、深い理由はないと思っていたら、思わぬ展開になった。
「ときおちゃん【カブ】さん」の発言に大いに啓蒙され刺激された。遠山啓、ヘーゲルの引用も出てきて、世の中に数少ない同好の友を見出した思いがする。
以下、議論をまとめたものです。
（１） １＋２×３ という式で、乗除先行であるべきか、加減先行であるべきかについては、数学的には、どちらでも問題はない。
乗除先行のルールのときに、加減を先に計算したければ、（１＋２）×３ とすればよいし、
加減先行のルールのときに、乗除を先に計算したければ、１＋（２×３） とすればよい。
（２）しかし、計算の優先順が、累乗→乗除→加減となったことには、以下のような論理的理由がある。
（２－１）数字の表記法が、そもそもこの優先順になっていること。
３２６という数字の３は３００を、２は２０を、６は６をあらしている。つまり、３２６は、３００＋２０＋６の加法が略されたものである。次に、３００は３×１００を、２０は２×１０を、６は６×１をあらわしている。つまり、３００、２０、６という数字は乗法が略されたものである。次に、１００は１０^2をあらわしている。つまり、１００という数字は累乗が略されたものである。（累乗のところは、漢数字の方が納得できそう。百は十の二乗の省略形、億は十の八乗の省略形）
つまり、３２６という数字は、先ず累乗を計算し、次に掛け算を計算し、最後に足し算を計算した結果をあらわしている。
だから、３２６＋７４×５ という式にあらわされる数字が乗除先行のルールで表記されているのだから、式全体にも乗除先行のルールを適用した方が、論理的であり、整合がとれている。
（２－２）掛け算が足し算の簡便形であること。
掛け算は、同数の足し算の繰り返しをまとめたものが始まりと考えられる。
つまり、１＋２＋２＋２＝１＋（２＋２＋２）＝１＋（２×３）
（＊註。数学の記法では、３Ａ＝３×Ａ＝Ａ＋Ａ＋Ａ だから、２＋２＋２＝３×２ の方が論理的で整合がとれている（欧米語ではそう）が、日本語の言い方では、２＋２＋２は、２の３倍、つまり ２×３ とするので、それにならう。）
つまり、掛け算と足し算の混ざった式（１＋２×３）において、掛け算の部分は、足し算の繰り返しをまとめたところと考えれば、その部分を先に計算すべきことになる。
（３）歴史的には、＋の記号の初出は、1486年または1489年のドイツの本で、このときは超過を表す記号であった。足し算を表す記号としての＋の初出は、1514年のオランダの本。
掛け算を表す×の初出は、1631年のイギリスの本ということです。
足し算も掛け算も、記号ができるまでは、ことば（文字）であらわしていたわけです。
×の記号が使われるほうが歴史的に後だということは、χ^3＋２χ^2 というように、文字式の表記法と同じように×記号を省略していたわけです。つまり、掛け算部分を先に計算しているわけです。（この項、片野善一郎『数学用語記号ものがたり』（裳華房、2003年）参照）
現実の社会生活で、乗除と加減の計算が使われる場面を考えると、乗除で計算した結果を加減している方が多い。（単価×個数で小計を出してから、足し算で総計を出すとか） 現実生活で登場する数量のほとんどは単位付きだから、先ず乗除で単位を確定させてから、同じ単位の数量について加減の計算をしているからだろう。
乗除による結びつきの方が加減による結びつきより強いから、乗除先行というルールは、合理的であるといえる。
と、まぁ、以上のように中仕切りしてみました。この先、さらなる展開があるなら、想定外の素晴らしい展開になるでしょう。
最後に、あらためて、ときおちゃん【カブ】さん、みょーさん、平泉さん、そして、トピを立てたLLLさんはじめ、多くの皆さんに感謝です。