「順々に調べて」の第４時は「フィボナッチ数列」を扱います。これも毎年実践している内容です。
階段を上ります。このとき「１段ずつ上がる」か「１段飛ばして２段ずつ上がる」の二通りだけを認めることにします。このとき，階段ののぼり方が何通りになるかを考える問題です。最初の例示は３段で行います。このときは３通りです。それぞれの歩き方は「１＋１＋１」や「１＋２」や「２＋１」などと「式」で表現していきます。また，発表したとき，最初に「１歩」を選択した児童には，「慎重な人だねえ。」と言い，逆に最初に「２歩」を選んだ人には，「大胆な人だねえ。」などとちゃかしておきます。
４段が５通りになった後，次の５段を予想させると「７通り」と言います。２ずつ増えているイメージなのでしょう。ところが実際は「８通り」になります。すると「分かった。」という声が挙がります。聞いてみると，「次は１２通りだ。」というのです。理由は「２，３と増えたので，次は４増える。」というのです。そこで調べさせてみました。ほとんどの児童が「１２通りだ。」と言います。このくらいになってくると全て数え上げるのが大変難しくなっています。「固定して」などとやるのはここでのねらいではありませんので触れないので大変です。１つずつ発表させて，１２通り出たところでもう一度眺めさせ，忘れているのぼり方を見つけさせました。全部で１３通りが正解です。
これで３つのデータが集まりました。さらに次の数を予想します。最初の児童は，
「３から５の時は，前の数を２倍して１引いた。次は５を２倍して２引いて８になっている。その次は８を２倍して３引いている。だから１３を２倍して４引いたら２２になる。」
という意見を出しました。この見方は初めて出てきたものでなかなか鋭い発想です。さらに次の児童は，
「前の２つを足したら次の数になっている。」
と仕組みを見抜いてきました。この段階ではどちらも正しいように見えます。そこで，
「もう少しデータがほしいなあ。こんな時はどうするんだったかな。」
と聞きます。前の「階段の問題」の時に出てきた，小さい時を考えさせます。２段の時は２通り，１段の時は１通りです。この２つのデータを加えて５つを眺めると「２１通り」になりそうだということが分かります。ここに来ると１つ１つ書き出していくのは大変ですので私の方で書き出してやり，本当に２１通りになっていることを確かめました。
こうしてこの数字の変化の仕組みが共通理解されました。どうしてそんな変化になるのかは，私の方で板書を利用して説明しました。「始めの第１歩」を「慎重に１歩で行くと１つ前の回数」になり，「大胆に２歩で行くと２つ前の回数」になるということです。
また，１段の時以前の数字がここまでの理屈に当てはまるようにすると「０，１」がその前につかなければならないことも押さえました。数学では，「形式がそろうように」定義することの素地にもなると考えました。そうしてこれらの数字を「フィボナッチ数」ということを教えました。子どもたちからは「そうだったのか。」という声が挙がります。今年の学級通信の題名http://blogs.yahoo.co.jp/tamusi22/36577722.htmlだからです。
さらに電子黒板を使って，これらのフィボナッチ数列が「ひまわりの種」「パイナップル」「松ぼっくり」などの模様に関係していることを紹介しました。これらの模様には，独特の渦巻きがいくつかの方向に流れていますが，その本数を数えてみると，必ずフィボナッチ数になっているのです。こんな不思議さが数学には潜んでいるのです。
階段を上ります。このとき「１段ずつ上がる」か「１段飛ばして２段ずつ上がる」の二通りだけを認めることにします。このとき，階段ののぼり方が何通りになるかを考える問題です。最初の例示は３段で行います。このときは３通りです。それぞれの歩き方は「１＋１＋１」や「１＋２」や「２＋１」などと「式」で表現していきます。また，発表したとき，最初に「１歩」を選択した児童には，「慎重な人だねえ。」と言い，逆に最初に「２歩」を選んだ人には，「大胆な人だねえ。」などとちゃかしておきます。 ４段が５通りになった後，次の５段を予想させると「７通り」と言います。２ずつ増えているイメージなのでしょう。ところが実際は「８通り」になります。すると「分かった。」という声が挙がります。聞いてみると，「次は１２通りだ。」というのです。理由は「２，３と増えたので，次は４増える。」というのです。そこで調べさせてみました。ほとんどの児童が「１２通りだ。」と言います。このくらいになってくると全て数え上げるのが大変難しくなっています。「固定して」などとやるのはここでのねらいではありませんので触れないので大変です。１つずつ発表させて，１２通り出たところでもう一度眺めさせ，忘れているのぼり方を見つけさせました。全部で１３通りが正解です。 これで３つのデータが集まりました。さらに次の数を予想します。最初の児童は，「３から５の時は，前の数を２倍して１引いた。次は５を２倍して２引いて８になっている。その次は８を２倍して３引いている。だから１３を２倍して４引いたら２２になる。」
という意見を出しました。この見方は初めて出てきたものでなかなか鋭い発想です。さらに次の児童は，
「前の２つを足したら次の数になっている。」
と仕組みを見抜いてきました。この段階ではどちらも正しいように見えます。そこで，
「もう少しデータがほしいなあ。こんな時はどうするんだったかな。」
と聞きます。前の「階段の問題」の時に出てきた，小さい時を考えさせます。２段の時は２通り，１段の時は１通りです。この２つのデータを加えて５つを眺めると「２１通り」になりそうだということが分かります。ここに来ると１つ１つ書き出していくのは大変ですので私の方で書き出してやり，本当に２１通りになっていることを確かめました。
こうしてこの数字の変化の仕組みが共通理解されました。どうしてそんな変化になるのかは，私の方で板書を利用して説明しました。「始めの第１歩」を「慎重に１歩で行くと１つ前の回数」になり，「大胆に２歩で行くと２つ前の回数」になるということです。また，１段の時以前の数字がここまでの理屈に当てはまるようにすると「０，１」がその前につかなければならないことも押さえました。数学では，「形式がそろうように」定義することの素地にもなると考えました。そうしてこれらの数字を「フィボナッチ数」ということを教えました。子どもたちからは「そうだったのか。」という声が挙がります。今年の学級通信の題名http://blogs.yahoo.co.jp/tamusi22/36577722.htmlだからです。
さらに電子黒板を使って，これらのフィボナッチ数列が「ひまわりの種」「パイナップル」「松ぼっくり」などの模様に関係していることを紹介しました。これらの模様には，独特の渦巻きがいくつかの方向に流れていますが，その本数を数えてみると，必ずフィボナッチ数になっているのです。こんな不思議さが数学には潜んでいるのです。