2011年
大阪大学・理系(前期)
数学 第２問
おはようございます。ますいしいです
受験生の皆さんを心より応援しております
それでは、まずは偉人の言葉からです
『高等数学は……深く覆い
隠されていた真理をわれ
われの前に照らし出し,
世の中へと送り出す.』
(Ｌ・オイラー,スイスの数学者で物理学者,1707-1783)
それでは、最初は解答を見ずにチャレンジしてみてください。
（問題）
（※ 時間の目安） ４０分 
Facsimile's logic
（ますいしいの解答）
コメント；いかがでしたでしょうか？楽しんで頂けましたでしょうか？
ｘ 軸で回転させますから ｘ 軸から最も離れた点が重要となります
よって,ｘ 軸に垂直に切断したときの ｙ 座標の最大値を求める必要
があります！ ｘ 座標を固定すると ｙ がθの関数となりますから，微
分を用いて最大値がθの関数として表されます！ これを ｘ 方向に
0 → 8 までファクシミリのようにタッタッタッ…と用紙に写してやると
Ｄの y 軸方向の最大値を表す曲線が出現します！ この問題では
この曲線がいわゆるアステロイド（＝星ぼう形）となります！
あとは，回転体ですから ∫πｙ^2 ｄｘ を計算してやればよいことに
なります！ ただ,ちょっと計算がやっかいです！ そこで θを保持
したまま媒介変数による積分を別解として載せてみました。 しかし，
これも sinθの７乗,９乗といった積分となり,けっこう計算がやっかい
になります！ 奇数乗なので,置換積分を行うか,あるいは三角関数
の半角の公式を使って,次数を下げて行って積分するかということに
なります！ただ,これも大変なので実は『ウォリスの公式』というよう
なものがあります！しかし,証明なしでこれを使うのも気が引ける所
です！一応,導き方を含めて掲載しましたので参考にしてください！
なお『ウォリスの公式』自体が過去,何度となく出題されていますので
導き方は重要となります！
それでは、次回をお楽しみに
ｂｙ ますいしい
