2016年
自治医科大学・医(1次)
数学(1～25)(解答・解説)
おはようございます。ますいしいです
受験生の皆さんを心より応援しております
それでは、まずは偉人の言葉からです
『数学全体は、本来、他の
諸科学のための一つの
大きな方程式なのである.』
（ノヴァリス，ドイツの詩人，1772－1801）
それでは、最初は解答を見ずにチャレンジしてみてください。
（問題）
(問題)
（※ 時間の目安） １．２分 ２．３分 ３．７分（３分） 
1. Integral expression
2. Arithmetric-geometric mean
3. Differential calculus
(Arithmetric-geometric mean)
（ますいしいの解答）
コメント；１．“剰余定理”でもいけますが，式をぐっと睨めば，直ちに
上のようにおけますね
これを“展開”します
２．2^x＋2^-x＝ ｔ と置きますが，ｔ の取り得る範囲が重要
です ここで，“相加相乗平均”の関係を使います
３．まずは，ｎ を消去し，2^m＝ ｔ と置き，数Ⅲの“微分法”
に持ち込む解法で行ってみました 結構，時間が
かかります
そこで，“別解”は，３個の“相加相乗平均”
の関係で解いてみました これに気づけば，３分程度
で解くのは可能でしょう
(問題)
（※ 時間の目安） ４．３分 ５．３分 ６．７分（知っていれば２分）
4,5． Trigonometric functions
6． Twin prime numbers
（ますいしいの解答）
コメント；４．“因数分解”に気づくと速いですね
５．ｃｏｓｘ だけで表します
６．ｎ 自然数 で，ｎ ，ｎ＋2 が対の素数を“双子素数”と言います
素数が無数にあることは，古代ギリシア時代から分かっており，
『ユークリッドの原論』にも証明がありますしかし，“双子素数”
が無数に存在するかどうかは，今だ未解決問題です
ｎ≧５では，“双子素数”の間の整数は必ず６の倍数となります
3と5,5と７,11と13,17と19,29と31,41と43,59と61,71と73,……
,857と859……などが“双子素数”です
(問題)
（※ 時間の目安） ７．５分 ８．３分 ９．２分
7 Lattice point
8 Combination
9 Complex plane
（ますいしいの解答）
コメント；７．第１象限での個数を求めて，これを４倍して，ｘ，ｙ軸上
の格子点を足して求めました
８．和が１６となる場合の数を求め，この７組から３組を選
ぶという解法です
９．|ｚ|＝１ ですから，与式を展開して整理して求めます
（別解）は，式の意味を“視覚化”して幾何的に求め
てみました “中線定理”（パップスの定理）です
(問題)
（※ 時間の目安） 10．３分 12．２分 13．２分
10. Apolonius' circle
11. Irrational inequality
12. Hesse nomal form
（ますいしいの解答）
コメント；10．複素数 ｗ が，等式 |ｗ－α|＝ｋ|ｗ－β| をみたすとき，
ｗ は，点Ａ（α），Ｂ（β）とすると，以下のような“軌跡”，
ｋ＝1 のとき，線分ＡＢの“垂直二等分線”，
ｋ≠1 のとき，２点Ａ，Ｂを ｋ ： 1 に内分する点と外分
する点を直径とする“円”（アポロニウスの円），
を表します
11．上のように“視覚化”すれば直ちにです
問題をスピーディーに正確に解くには“視覚化”は
必須です
12．こちらも，“視覚化”が強力な武器です
“点と直線との距離の公式”，“三平方の定理”を
使って直ちにですね
(問題)
（※ 時間の目安） 13．３分 14．１分 15．２分
13. Inner center
14. Inner product
15. Ceva's theorem
（ますいしいの解答）
コメント；１３．“内角の二等分線の辺の比”（頻出）です
１４．|→ａ＋→ｂ|^2＝|→ａ|^2＋2→ａ・→ｂ＋|→ｂ|^2 です
１５．“チェバの定理”です
（問題）
（※ 時間の目安） 16．３分 17．２分 18．２分
16. Geometric progression
17. A limiting value
18. Permutation
（ますいしいの解答）
コメント；16．初項ａ，公比 ｒ の“等比数列の和”：
Ｓ＝ａ（ｒ^n－1）/（ｒ－1）(ｒ≠1) です
17．ａn＝Ｓn－Ｓn-1 （ｎ≧2） です
もちろん，記述であれば，一般項をきちんと出さなければ
なりませんが，ここで欲しいのは“極限値”だけです
18．“順列”です
（問題）
（※ 時間の目安） 19．３分 20．２分 21．３分
19. Repeated trial
20. Geometric series
21. Extreme value
（ますいしいの解答）
コメント；19．“反復試行”の確率です“超頻出”の問題です
上のような分数式で式を評価して行きます
20．“無限等比級数”が，“収束”するための条件は，
“公比 ｒ が，|ｒ|＜1 ” です
グラフを描き，“視覚化”するのが速いでしょう
21．ｙ＝ｆ（ｘ）が，ｘ＝ａ で“極値”を持つ必要条件は，
ｆ´(ａ)＝0 です
（問題）
（※ 時間の目安） 22． ３分 23． ３分
22. Differential calculus
23. Integral calculus
（ますいしいの解答）
コメント；22．“恒等式”で“係数比較”です
23．Ｓ2＝Ｓ3 ですから，
∫(Ｃ1－Ｃ2)ｄｘ＝0 [0,a+2] となることが条件です
（問題）
（※ 時間の目安） 24． ３分 25． ３分
24. Curve length
25. Integration by substitution
（ますいしいの解答）
コメント；24．“曲線の長さ”をもとめる積分；
Ｌ＝∫√｛1＋(ｙ´)^2｝ｄｘ です
25．“置換積分”です また，三角関数，
“２倍角の公式”，“半角の公式”を使います
それでは、次回をお楽しみに
ｂｙ ますいしい
