2007年 千葉大学・全学(前期) 数学 第7問
こんにちは，ますいしいです！本日は朝は晴れて
いて気持ちが良いですが，午後からは予報では急な
雨が来るとのことです！
さて，あと２週間程で日本全国ほぼ公立・私立含め
中・高で一斉に中間テストが行われる！そこで，
全国の先生方にお願いしたい！
『子どもたちに点数をたくさん取らせろ！点数をばらまけ！』
最近テストで子どもに点数を与えるのは教師としてプライドが許さないという
ようなテスト作りが多いように感じる！平均点が高くなろうと構わないではない
か！要は何のためのテストなのであろうか？今後も一生懸命勉強して欲しい！
がんばった分，それが跳ね返って来て得点になるんだよ！と子どもに思わせて
欲しいのだ！最悪なテストは，教師が自分の科目だけしか頭になく他の科目に
配慮のない独善的なテストである。考えてみて欲しい！子どもは一体何科目の
テストを受けるのであろう？得意科目もあれば不得意科目もある。まずは90％
ぐらいは，きちんと教科書から出題して，とりあえず日々の授業をちゃんと受けて
いたら得点出来る！テストを作って欲しい。基礎が（教科書の太字！）90％でい
いのだ！９教科近くも暗記につぐ暗記！暗記のオンパレードである！文系科目
など教科書を覚えてくれただけでも上出来ではないか！（また忘れるにしても！）
要はまた，勉強したいなと思わせて欲しいのだ！テストも点数もまた勉強したいな
と思ってもらうための手段である！『やったことが結果に現われて平均点が高くなる！』
大いに結構ではないか！子どもたちに得点されてしまうというのは決して教師の
無能さを表すものではない！高校入試いろいろな入試を含め（筆記入試はあった方
がよい！）日本の経済もデフレが続いている！その結果，自殺者の増加や貧困層
の増加など国民の委縮が続いている。金権政治，大いに結構ではないか！政治家
は金を滞らせず，金を流通させる役割だってあるのだ！テレビで評論家やコメンテー
ターが出て来て，したり顔でいかにも自分だけが正しいというような顔でしゃべる。もう
うんざりである！確か，朝まで徹底討論が始まったのは１９８９年頃だったと思うが，
徹底討論して世の中，良くなったのであろうか？討論して，かえって世の中，悪くなっ
てきたのではないか？結局，討論のための討論なのだ！（テストのためのテストなの
だ！）子どもたちの得点も国民たちの金も人間活動が日々いきいきと活発に行われる
ための，たかが手段である！
子どもたちの得点も国民たちの金もデフレからの脱却を強く訴えたい！
そして，日本がまた，日々の人間活動がいきいきと活発に行われる社会を望むのである！
それでは，本日の問題です！（別証）を目を凝らしてよく御覧ください！
それでは、まずは偉人の言葉からです
『・・・・数学の高度の確かさを
非難する者は，でたらめを食っ
て生きているようなものだ．』
（レオナルド・ダ・ヴィンチ、イタリアの芸術家
学者,1452-1519）
それでは、最初は解答を見ずにチャレンジしてみてください。
(解答) ここで，まず確認しておこう。『連続する ｎ 個の整数の積は ｎ！(階乗) の倍数になる。』
ということである！一応，説明をしておくと。 ｎ 個の連続する整数には必ず，１の倍数（これは当然），
２の倍数，３の倍数，４の倍数，５の倍数，・・・・，ｎ の倍数が少なくとも１個は必ず含まれるから，
１×２×３×４×５×・・・・×ｎ ＝ ｎ！ の倍数となる。
(１) 上の解答を参照して頂ければいいです。
(２) これも上の解答を参照して頂ければいいです。
(３) さて，これですが ５ の剰余系に場合分けで証明していますが，もちろん上のような解答でも
結構です。ただ場合分けをしなくとも出来ます。まずは，それを御見せします。
∴ ｎ^5 - ｎ
= ｎ ( ｎ^4 - 1)
= ｎ ( ｎ^2 - 1) ( ｎ^2 + 1)
= ｎ ( ｎ - 1) ( ｎ + 1) { ( ｎ^2 - 4 ) + 5 }
= ｎ ( ｎ - 1) ( ｎ + 1) { ( ｎ - 2 ) ( ｎ + 2 ) + 5 }
= ( ｎ - 2 ) ( ｎ - 1) ｎ ( ｎ + 1) ( ｎ + 2 ) + 5 ｎ ( ｎ - 1) ( ｎ + 1)
ここで，( ｎ - 2 ) ( ｎ - 1) ｎ ( ｎ + 1) ( ｎ + 2 ) は連続する５つの整数の積であるから５の倍数。
もちろん， 5 ｎ ( ｎ - 1) ( ｎ + 1) も５の倍数。よって， ｎ^5 - ｎ は５の倍数。
∴ ｎ^2 - 1 は ｎ^5 - ｎ の因数であるから ｎ^5 - ｎ は ８の倍数となる。
したがって，以上より ｎ^5 - ｎ は３の倍数であり，５の倍数であり，８の倍数で
３ と ５ と ８ は互いに素(公約数を １以外に持たない関係。) だから，
ｎ^5 - ｎ は ３×５×８ ＝ １２０ の倍数となる。 ( End )
さて，以上で証明は完了しましたが，(１)，(２) なしでダイレクトに証明はできないでしょうか？
すなわち，『ｎ を奇数として ｎ^5 - ｎ は 120 の倍数であることを証明せよ。 』 です。
いろいろ頭に浮かびます。数学的帰納法，合同式(≡)，二項展開の利用などです。
しかし，どうも ｎ^5 の展開計算がやっかいそうでいやです。そこで
。
(別証)
∴ ｎ^5 - ｎ
= ｎ ( ｎ^4 - 1)
= ｎ ( ｎ^2 - 1) ( ｎ^2 + 1)
= ｎ ( ｎ - 1) ( ｎ + 1) { ( ｎ^2 - 4 ) + 5 }
= ｎ ( ｎ - 1) ( ｎ + 1) { ( ｎ - 2 ) ( ｎ + 2 ) + 5 }
= ( ｎ - 2 ) ( ｎ - 1) ｎ ( ｎ + 1) ( ｎ + 2 ) + 5 ｎ ( ｎ - 1) ( ｎ + 1)
ここで， ｎ は奇数だから， ｎ = 2ｐ + 1 ( ｐ は整数 ) とおける。 よって上式で，
( ｎ - 2 ) ( ｎ - 1) ｎ ( ｎ + 1) ( ｎ + 2 )
= ( 2ｐ - 1) ( 2ｐ) ( 2ｐ + 1) ( 2ｐ + 2 ) ( 2ｐ + 3 ) で連続する５つの整数の積だから，
１×２×３×４×５ = １２０ の倍数である。 ・・・ ① ，次に
5 ｎ ( ｎ - 1) ( ｎ + 1)
= 5 ( 2ｐ + 1) ( 2ｐ) ( 2ｐ + 2 )
= 5×2×2 ｐ ( ｐ + 1) ( 2ｐ + 1)
= 20 ｐ ( ｐ + 1) { ( ｐ + 2) + ( ｐ - 1) }
= 20 { ｐ ( ｐ + 1) ( ｐ + 2) + ( ｐ - 1) ｐ ( ｐ + 1) }
ここで，ｐ ( ｐ + 1) ( ｐ + 2) ， ( ｐ - 1) ｐ ( ｐ + 1) はそれぞれ３つの連続する整数の
積だから，いずれも １×２×３ = ６ の倍数。
よって，20 { ｐ ( ｐ + 1) ( ｐ + 2) + ( ｐ - 1) ｐ ( ｐ + 1) } は ２０×６ = １２０の倍数。
すなわち， 5 ｎ ( ｎ - 1) ( ｎ + 1) は １２０の倍数である。 ・・・ ②
したがって，以上 ① ，② より， ｎ^5 - ｎ は １２０の倍数となる。 （Ｅｎｄ）
これで，ダイレクトに証明が完了しました。
コメント；いかがでしたでしょうか？楽しんで頂けましたでしょうか？
数学って，おもしろいでしょ
。
それでは，次回をお楽しみに
。 ｂｙ ますいしい
それでは、次回をお楽しみに
ｂｙ ますいしい
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身につけるのに、お勧めです