２００９年 千葉大学（前期） 数学 第２問
こんにちは，ますいしいです。本日は快晴でやはり天気がいいと，気分も爽快ですね
。
昨日のイチロー選手５の２で一応マルチですが・・・。しかし，マリナーズまた負けてしまい
ました
。ただ，レーザービームで福留選手を本塁で捕殺！流石です！イチロー選手は
打つだけではなく守備も凄いのが魅力ですね
！マリナーズまだまだこれから
！
さて，本日の問題は図形の妙技を御覧ください。高校受験生も必見ですよ
。
(解) (１) もちろん，三角関数を使った解法も素晴らしいですね！
二等辺三角形で頂点から底辺に垂線を下すと，この垂線は頂角を二等分して，
なおかつ底辺も二等分しますね！(これは中２の三角形の合同の単元で学習します！)
ここで，AB = 2 ，即ち AH = BH = 1 とおいても一般性は失われません。
頂角が30°の二等辺三角形ですから，残りの２つの角は (180°- 30°)÷2 = 75°(底角)です。
次に，∠ABD = 15°，∠DBH = 60°となるように 線分AH 上に点 D を取ります。
そうすると，ΔDBH は 30°，60°，90°の直角三角形ですから，DB = 2 ，DH = √3 ，
次に，ΔDAB は∠DAB = ∠DBA = 15°の二等辺三角形ですから，DB = DA = 2 です。
したがって， AH / BC = ( DA + DH ) / BC = ( 2 + √3 ) / 2 ・・・ （答）
(２) ∠ACE = 30°，∠ECH = 45°となるように線分 AH 上に点 E を取ります。
さらに，点 E から線分 AC に垂線を下しその足を F とし，∠AEG = 15°となるように，
線分 AF 上に点 G を取ります。△EHC は直角二等辺三角形ですから，EC = √2 。
ΔECF ≡ ΔEGF で，この２つの三角形は30°，60°，90°の直角三角形ですから，
EG = EC = √2 ，EF = √2 / 2 ，CF = GF = EF×√3 = (√2 / 2) ×√3 = √6 / 2 。
また，ΔGAE は∠GAE = ∠GEA = 15°で二等辺三角形ですから，AG = EG = √2 。
よって， AC = AG + GF + CF = √2 + √6 / 2 + √6 / 2 = √2 + √6 。
したがって，
ｓｉｎ( A / 2 ) ｃｏｓB = ｓｉｎ( A / 2 ) ｃｏｓC = ( CH / AC ) ・ ( CH / AC )
= 1 / ( √2 + √6 )^2 = 1 / { 2 ・( 1 + √3 )^2 }
= 1 / { 2 ・( 4 + 2 √3 ) } = 1 / { 4 ・( 2 + √3 ) }
= ( 2 - √3 ) / { 4 ・( 4 - 3 ) }
= ( 2 - √3 ) / 4 ・・・ （答）
コメント；上のような図形は高校受験でも，よく出ますからぜひ参考になさってください。
いろいろな解法が可能ですから考える訓練を積んでください。最近はゲーム
が発達してしまい図形好きの男子学生が激減しているように思います。所詮
ゲームは人が作ったものですから自然界に比べたら底が浅いと思いますが・・。
こんな事を言うとゲーム界の人から総攻撃を受けそうですね・・・。
（おまえにゲームの何が分かる！
・・・・おお怖！）
またゲームは子供がはまるように子供の心理を上手く読んで作っていますからね。
（法に触れない限りは経済活動は自由ですから。）
また女子は女子で AKB など，子供が食い付くに決まっていますからね。
でも子供の能力は凄いです。まわりにそういった雑音がなければ数学にも勉強にも
向かいます。間違いないです。人間，能力差というのも多少あるでしょうが結局は
興味がどこへ向かうかだと思います。今の時代あまりにも商業ベースで子供を巻き
込みすぎではないでしょうか。もちろん，世の中いろいろな仕事でいろいろな人が
食べているのは分かります。今の日本，富の分配は正常でしょうか？資本主義で
すから勝ちがすべてということでしょうか？ AKB なんて，誰が一番儲けたのでしょう？
（おまえに AKB のすばらしさなんか分かるわけない！。彼女たちは必死にがんば
っているんだ！謝れ！・・・おお怖！。）
Ａ元なんとかという人でしょうか？才能ということでしょうか？
ともかく数学をやる子供が，めっきり減りました。なんか淋しいですね。
それでは，次回をお楽しみに
。 ｂｙ ますいしい