２０１２年 上智大・文（哲），総合，外国語（２/４） 数学 第２問
こんにちは，ますいしいです。本日は上智大・文系の数学です。しかし、文系の数学だから
と言って『侮ることなかれ！』です。実際にやってみればわかりますが，しかるべき時間内
に素早く全問正解するのはそう容易いことではありません。口だけの評論家になってはい
けません！特に（６）番など発想力，構想力，先を見通す力，そしてそれを実現できる計算
力など，いろいろな能力を発揮しないと正解に到達するのは難しいと思います。しかし，一
歩一歩確実に前進し自らを高めて行きましょう！それでは上智大！突撃します！
(解) (１) まず３辺がすべて整数なのでヘロンの公式でΔABC の面積を求めるのがよいでしょう。
実は，三角形は３辺が分かっていれば，ほとんどの事は何でも出来てしまいます。いや，出来るよ
うにしておいてください。例えば，面積はもとより，内接円・外接円・傍接円の半径，中線定理（パッ
プス），内角・外角の二等分線定理，三角形の五心（重心，内心，外心，垂心，傍心）など，これらの
事が瞬時に頭を駆け巡り，運用出来る力が備わっているのが望ましいです。それでは，ΔABC の面
積 S は，３辺を a, b，ｃ とすると，S = 1/4・√(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) より，
S = 1/4・√15・7・5・3 = 15/4・√7，外接円の半径を R とすると，正弦定理より、ａ/ｓｉｎＡ = 2R，
S = 1/2・ｂ・ｃ・ｓｉｎA より， R ＝ ａｂｃ/4S ＝ 6・5・4/(4・15/4・√7) ＝ 8/7・√7 ・・・ (答)
( ※ もちろん，余弦定理で ｃｏｓ を求めて正弦定理という流れもあります。 R ＝ ａｂｃ/4S は公式と
して， 使いこなせるのがよいでしょう！この公式は図形的にも導けるようにしておいてください！)
(２) 内接円の半径を ｒ とすると， ｒ ＝ 2 S / ( ａ + ｂ + ｃ ) (※これは定番の公式です！） より，
ｒ ＝ 2・15/4・√7・( 6 + 5 + 4 ) ＝ 1/2・√7 ・・・ （答）
(３) AB の中点を M とすると，ΔAMP は∠AMP = 90°の直角三角形だから，
ｃｏｓα ＝ AM / AP ＝ 1/2・AB / R ＝ 2/(8/7・√7) ＝ 1/4・√7 ・・・ （答）
(４) これは手馴れていないと，かなりやっかいな問題です！内接円と AB，BC，CAと の接点を
それぞれ，H，Ｉ，J，AH = ｘ とすると，円外の 1 点からは長さの等しい接線が 2 本引けるので，
AJ = ｘ，BH = 4 - ｘ ，CJ = 5 - ｘ ，BC = BI + CI = BH + CJ だから，
BC = ( 4 - ｘ ) + ( 5 - ｘ ) = 6 ⇔ ｘ = AH = 3/2 となる。
よって，三平方の定理より， AQ = √( AH^2 + QH^2 ) = √( 9/4 + 7/4 ) = 2 ．
したがって，ｃｏｓβ ＝ AH / AQ ＝ (3/2)/2 ＝ 3/4 ・・・ （答）
( ※ もちろん三角関数の公式を駆使すれば上以外の方法でも求めることはできます！)
(５) ここは，もう (４) より出ているので，AQ ＝ ２ ・・・ （答）
(６) Q より PM に下した垂線の足を K とします。ちなみに四角形 HMKQ は長方形です。
ここで， QK = HM = AM - AH = 2 - 3/2 = 1/2 ，
ΔAPM で三平方の定理より，PM = √(AP^2 - AM^2) = √{ (8/7・√7)^2 - 2^2 }
= 2 √( 16/7 - 1 ) = 2 √( 9/7) = 6/7・√7 ，
∴PK = PM - KM = PM - QH = 6/7・√7 - 1/2・√7 = ( 12 - 7 ) / 14 ・√7 = 5/ 14 ・√7 ，
したがって，さらにΔPQK で三平方の定理より，
PQ = √(QK^2 + PK^2) = √{ (1/2)^2 + (5/ 14 ・√7)^2
= 1/2・√{ 1 + (5/√7)^2 } = 1/2・√(32/7) = 2/7・√14 ・・・ （答）
コメント；いかがでしたか？手馴れていないと (４)，(５)，(６) など結構大変でしたでしょ
やはり，文系の数学と言えども，充分に訓練を積んで腕を磨いていかないと
なかなかすんなり解けるという所までは行かないと思います。しかし，皆さん
粘り強くがんばって行きましょう。 ｂｙ ますいしい