２０１２年 広島大(前期) 理系数学 第４番
(３) の詰めはベクトルの内積と図形的処理の合わせ技！
〔４〕 0 ＜ θ ＜ π/2 とする。原点 O を中心とする
単位円周上の異なる 3 点 A，B，C が条件
(cosθ)→OA + (sinθ)→OB + →OC = →０ ・・・①
を満たすとする。次の問いに答えよ。
(１) 2つのベクトル→OA ，→OB は垂直であることを
証明せよ。
(２) |→CA|，|→CB| を θ を用いて表せ。
(３) 三角形 ABC の周の長さ AB + BC + CA を最大
にする θ を求めよ。
(解) (１) まず題意より，|→OA|=|→OB|=|→OC|= 1・・・②
①より(cosθ)→OA + (sinθ)→OB = - →OC
∴|(cosθ)→OA + (sinθ)→OB|^2 = |- →OC|^2 = 1(∵②)
⇔(cosθ)^2|→OA|^2 + 2(cosθsinθ)→OA・→OB
+ (sinθ)^2|→OB|^2 = 1
⇔ 1 + (sin2θ)→OA・→OB = 1
⇔ (sin2θ)→OA・→OB = 0
ここで 0＜θ＜π/2 ⇔ 0＜２θ＜π だから sin2θ≠0
したがって，→OA・→OB = 0 ⇔ →OA ⊥→OB (End) ・・・③
(２) |→CA|^2 = |→OA - →OC|^2
= |→OA + (cosθ)→OA + (sinθ)→OB|^2
= (1+cosθ)^2|→OA|^2 + (sinθ)^2|→OB|^2
= 2 + 2cosθ (∵①，②，③ より)
したがって， |→CA| = √(2 + 2cosθ) ・・・(答)
同様に，|→CB|^2 = |→OB - →OC|^2
= |→OB + (cosθ)→OA + (sinθ)→OB|^2
= (1+sinθ)^2|→OB|^2 + (cosθ)^2|→OA|^2
= 2 + 2sinθ (∵①，②，③ より)
したがって， |→CB| = √(2 + 2sinθ) ・・・(答)
(３) △OAB は直角二等辺三角形だから AB = √2 で一定．
よって AC + BC が最大となるときの θを求めればよい．ここで，
AC = √4(1+cosθ)/2 = 2√(cos^2・θ/2) = 2(cos・θ/2)
BC = √2(1+sinθ) = √2(cos・θ/2+sin・θ/2)^2
= √2・(cos・θ/2+sin・θ/2)
∴AC + BC = √2{ (√2 + 1)cos・θ/2 + sin・θ/2 }
= √2 (√2 + 1，1)・(cos・θ/2，sin・θ/2) ・・・④
ここで，xy-座標平面で P (√2 + 1，1)，Q (√2 + 1，0)，R(√2，0) と
すると，△PQR は直角二等辺三角形だから PR = √2，∠PRQ = π/4．
④で (√2 + 1，1)・(cos・θ/2，sin・θ/2) は， ベクトル(√2 + 1，1) と
ベクトル(cos・θ/2，sin・θ/2) の内積である．よって，④が最大となるのは
ベクトル(√2 + 1，1) と ベクトル(cos・θ/2，sin・θ/2) のなす角が 0 の
ときで，すなわち θ/2 = ∠POR となるときである．
また△PQR は，OR = PR = √2 の二等辺三角形だから
∠POR = ∠OPR = θ/2 ，∠POR + ∠OPR = ∠PRQ = π/4 (外角) ，
したがって，θ/2 + θ/2 = π/4 ⇔ θ= π/4 ・・・(答)
（ 注； Yゼミは，やや難 の表示です。）
ｂｙ ますいしい