２０１２年 東京工業大学 数学 第６問
(時空を超えて！の記事・上智大理工・数学 第３問
と類似問題！上智は面積で東工大は体積です。)
第６問 ｘｙｚ 空間に ４ 点Ｐ(0，0，２)，Ａ(0，2，0)，
Ｂ(√3，－1，0)，Ｃ(－√3，－1，0)をとる。
四面体ＰＡＢＣの ｘ^2 ＋ ｙ^2 ≧ 1 をみたす
部分の体積を求めよ。
（解答）△ＡＢＣはＡＢ＝ＢＣ＝ＣＡ＝2√3の正三角形で
又，ＰＡ＝ＰＢ＝ＰＣ＝2√2だから，四面体Ｐ-ＡＢＣは
底面を△ＡＢＣとし，高さＰＯ＝2 の正三角錐である。
ＢＣの中点をＭとすると，Ｏは△ＡＢＣの重心でＡＭ＝3
でＡＯ：ＯＭ＝ 2：１だからＯＭ＝1。ＡＯの中点をＮとし，
ＮよりＰＯに平行な直線とＰＡの交点をＬとすると，中点
連結定理より，ＰＬ＝ＰＡ。同様にＰＢ，ＰＣの中点をＫ，
Ｓとすると，Ｏを中心とし，半径 1 の円柱は点Ｌ，Ｋ，Ｓ
を通る。次に，ＡＢ，ＰＯの中点をそれぞれＧ，Ｄとし，
ＤからＫＬに平行な直線上にＬに近い方にＤＨ＝ ｔ とな
る点Ｈをとる。ＫＬの中点をＥとし，ＤＥの延長と円柱との
交点をＦとする。さらに，ＤＦに平行な直線とＥＬ，円柱と
の交点をＩ，Ｊとする。
ＩＪ＝ＨＪ - HI＝√(DJ^2 - DH^2) - 1/2
＝√( 1 - ｔ^2) - 1/2 ・・・ ①
ここで，△ＥＦＧはＥＦ＝1/2，ＦＧ＝ 1 ，∠ＥＦＧ＝９０°
で，ＪからのＦＧ平行な直線と面ＰＡＢとの交点をＴと
すると，△ＥＦＧ∽△ＩＪＴだから，ＪＴ＝2ＩＪ ・・・ ②
△ＩＪＴの面積を ｆ ( ｔ ) とすると，①，②から，
ｆ ( ｔ ) ＝1/2・ＩＪ・2ＩＪ＝ＩＪ^2
＝5/4 - ｔ^2 - √( 1 - ｔ^2)
ここで，△ＤＥＬはＤＬ＝1，ＤＥ＝1/2，∠ＤＥＬ＝90°
だから，ＤＬ＝√3/2。面ＰＡＢの外側の図形は，面
ＰＧＣで対称な二つの図形に分けられる。よって，
図形ＥＦＧＬの体積は 関数 ｆ（ｔ) を区間［0，√3］で
積分したもので，
∫(5/4 - ｔ^2 ) ｄｔ ＝ √3/2 ・・・③
∫√( 1 - ｔ^2 ) ｄｔ は，図形的に考えると，
半径 1 で中心角60°の扇形と3辺が1，1/2，√3/2
の直角三角形との面積の和となるから，
∫√( 1 - ｔ^2 ) ｄｔ ＝π/6 + √3/8 ・・・④
よって，③，④より 図形ＥＦＧＬの体積
＝√3/2 - π/6 - √3/8 ＝ 3√3/8 - π/6 ・・・⑤
四面体ＰＡＢＣの体積＝2√3・3・1/2・２・1/3＝2√3
で，Ｐ-ＬＫＳ∽Ｐ-ＡＢＣで体積比は 1： 8 だから，
図形ＬＫＳ-ＡＢＣ ＝ 2√3・７/８ ＝ 7√3/4 ・・・⑥
半径 1 ，高さ 1 の円柱の体積 ＝ π ・・・ ⑦
したがって，求める体積は ｛ ⑤×6 + ⑥ - ⑦ ｝
＝ 9√3/4 - π + 7√3/4 - π ＝ 4√3 - 2π ・・（答）
（注； Ｓ台，Ｋ塾，Ｔ進はやや難，Ｙゼミは難
の表示です。）
ｂｙ ますいしい