広島女学院中平成23(2011)過去問
5_算数の解説
【問題】
黒石1個の周りに白石を並べ、正方形を作ります。
以下の図は左から、黒石が1個のとき、4個のとき、1個のときです。
後の問に答えなさい。
(1)
黒石が25個のとき、白石は何個必要ですか。
(2)
黒白合わせて石が全部で225個あるとき、そのうち白石は何個ありますか。式または説明も書きなさい。
(3)
白石が280個のとき、黒石は何個必要ですか。
【解き方と解答】
表を作ってみましょう
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図の番号| 1 | 2 | 3
黒石 | 1個 | 4個 | 9個
白石 | 8個 | 21個 | 40個
黒＋白 | 9個 | 25個 | 49個
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このうち、式で置き換えられるものを探しましょう。
1つ目の黒石の数は1ですが、これは1×1です。
2つ目の黒石の数は4ですが、これは2×2です。
3つ目の黒石の数は9ですが、これは3×3です。
黒石の数は、図が何番目かわかればそれを2回かければわかるということです。
同じ数を2回かけた数を「平方数」といいます。
１、４、９、１６、２５、３６、・・・と続きます。
黒石と白石の数の和についても考えてみます。
1つ目の黒＋白の数は9ですが、これは3×3です。
2つ目の黒＋白の数は25ですが、これは5×5です。
3つ目の黒＋白の数は49ですが、これは7×7です。
黒石と白石の数の和は、図が何番目かがわかれば、それを2倍して1を足して、その平方数を出せば良いということになります。
(1)
黒石が25個になるのは、25=5×5ですから、5つ目の図ということになります。
このとき、黒＋白は5×2+1の平方数ですから、121個となります。
白石の数は121個－25個=96個となります。
A．96個
(2)
黒白合わせて225個になるのは、225=15×15ですから、(15-1)÷2=7つ目の図ということになります。
このとき、黒石は7×7=49個ですから、
白石は、225個-49個=176個となります。
A．176個
(3)
白石が280個ということですので、白石の規則性を考えてみましょう。
白石は、8個、21個、40個と増えていきますが、この規則はなかなか難しいですね。
こういう場合は、掛け算の答え、「積」の形にしてみるとわかることがあります。
8=2×4、 21=3×7、40=4×10ですから、
積の因数が1つは１ずつ、もう1つは3ずつ増えています。
このまま増やしていくと、
5×13、6×16、7×19、8×22、9×25、10×28となり、ここで280が出てきます。
10-1=9番目の図形ということですから、
黒石は9×9=81個となります。
A．81個