広島学院H23(2011)過去問
その2の4_算数の解説
【問題】
ある工場でA、B、C、Dの4台の機械を同時に使い始めます。使い始めた日を1日目として、1000日目まで使用します。機械Aは5日動かすと次の日に1日だけ休ませます。機械Bは7日動かすと次の日に1日だけ休ませます。機械CとDは14日動かすと次の日に1日だけ休ませます。
次の問いに答えなさい。
(1)4台の機械が同時に休む日は何日ありますか。
(2)1台の機械だけが動く日は何日ありますか。
(3)2台の機械だけが休む最後の日は何日目ですか。
【解き方と解答】
それぞれの機械が何日周期で動いているかを考えます。
機械Aは5+1は6日周期、Bは7＋1で8日周期、CとDは14+1で15日周期です。
それぞれ、周期の最後の日にお休みを取ります。
たとえば6日周期でしたら、6日目、12日目・・・がお休みとなります。周期がピタッと一致するのがお休みになります。
(1)
最小公倍数が初回の一致したお休みとなりますから、6と8と15の最小公倍数120が最初のお休みです。120、240、360と一致していきますが、1000日目までには120の倍数がいくつあるでしょうか。
1000日÷120日＝8あまり40日より、8日となります。
Ａ．8日
(2)
CとDは必ず一緒に動きますから、AまたはBのみが単独で動いている日を探すことになります。CとDの休みの周期、つまり15の倍数の日で、かつAの休みの周期である6の倍数またはBの休みの周期である8の倍数であり、さらに、AとBの両方休みの周期である24の倍数でない日を調べます。
まず15の倍数は1000÷15=66あまり10より、66日あります。
このうち、6の倍数にあたる(AとCとDが休む)のは、6と15の最小公倍数30の倍数ですから、1000÷30=33あまり10より、33日あります。また、8の倍数にあたる(BとCとD)のは、8と15の最小公倍数120の倍数ですから、なんと、BとCとDが休む日は必ずAも休むということになり、この問題ではBのみが働くパターンしか考えなくてよいということです。
AとCとDが働くパターンは33日ありますが、120日ごとに4つが全部休んでしまう日があるので、それを引いて33－8=25日となります。
A．25日
(3)
2台だけが休むパターンは、AとBが休む、CとDが休む、のどちらかしかありません。
AとBが休むのは24日周期で、120日おきに例外(CとDも休んでしまう)があります。
1000÷24＝41あまり16ですから、24×41＝984日目が、AとBのみが休む日です。
CとDが休むのは15日周期で、例外は2種類(30日おきにAも休む、120日おきにAとBも休む)あります。
1000÷15＝66あまり10より、15×66=990日目がCとDが休む最後の日ですが、この日は6で割り切れるためにAも休んでしまいます。その前のCとDの休みは990-15＝975日目ですが、これはAとBが休む984日目よりも前になってしまうので、ダメです。
ゆえに、AとBが一緒に休む984日目が最後の日となります。
Ａ．984日目
※(3)の正解を「990日目」としているテキストもあるようですが、990日目はAとCとDの3つが休みでBしか動かない日なので、ダメな日になります。。