秘伝の数学、AI時代の数学的思考に目覚める会話、実習生と仲間たち -25ページ目

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26Feb
- 分野別基本シリーズ【三角関数】（11　方程式・不等式）
  【三角関数】（11　方程式・不等式）こんにちは。今回は三角関数の方程式・不等式について学びます。教科書の内容を復習しながら応用の問題も考えていきます。登場人物2年Ａ組担任数学教師ヨッシー、クラスの室長あつし数学好きの森、数学嫌いの華子、お調子者の内田、しっかり者の橋本、クラスのマドンナ麗子ヨッシー先生「今回は三角方程式、不等式で角を求める問題を扱います」内田「どうやって求めるのですか」森「角は辺の比から求めるので、単位円を書き比の関係から求めます」ヨッシー先生「そうですね。具体的に問題を解いてみましょう」内田「単位円でサインはx座標、サインはy座標。これを使うんですね」森「（1）（2）から解いてみます。単位円です」橋本「（1）はサインなのでｙ座標が1／2となる単位円上の点を求めます」内田「（2）はコサインなのでｘ座標を考え、後は比の関係から角を求める」森「比の関係と言っても使う直角三角形は二つです」橋本「（3）を解きます。直線ｘ＝1との交点のy座標がタンジェントです」森「使う比は二つだけなので、実はとても簡単です」ヨッシー先生「そうですね。原理を理解して練習すれば簡単だと思います」ヨッシー先生「次に不等式を解いてみましょう」内田「これは等式とどう違いますか」森「角が範囲になるだけで、考え方は同じだと思います」ヨッシー先生「具体的な問題を解いてみましょう」内田「やっぱり単位円の利用ですね」森「（1）はコサインなのでｘ座標の範囲を考えればよいです」内田「なるほど。（2）はどうなりますか」森「直線ｘ＝1の交点の範囲を考えます」ヨッシー先生「そうですね。よくできました」今回は角を求める問題を解きました。比の関係から求めるわけですが基本的に2つの直角三角形を使うだけです。練習して慣れるようにしましょう今回はここまでです。次回をお楽しみに。
24Feb
- 【三角関数】（三角比10　加法定理2）
  【三角関数】（三角比10　加法定理2）こんにちは。今回はサインの加法定理について学びます。教科書の内容を復習しながら応用の問題も考えていきます。登場人物2年Ａ組担任数学教師ヨッシー、クラスの室長あつし数学好きの森、数学嫌いの華子、お調子者の内田、しっかり者の橋本、クラスのマドンナ麗子ヨッシー先生「今回はサインの加法定理について考えます」内田「前回コサインの加法定理を学びました。何が違うのですか」ヨッシー先生「いろいろあります。違いを考えるのもよい勉強だと思います」内田「コサインの加法定理の証明に使った図と同じですね」森「sin(α＋β)＝ACがポイントです」橋本「順にやっていけばできそうです」　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　内田「AC＝AF＋FCを使ってできました」ヨッシー先生「他の証明はどうですか」内田「サインなので面積か正弦定理の利用ですか」橋本「内田、いい勘してる。それでは面積で考えよう」橋本「高さ1の図の様な三角形で面積を考えます」内田「面積の関係？」森「△ABCを△ABDと△ADCに分けて考えます」内田「なるほど。加法定理が証明できました」ヨッシー先生「いいですね。他の証明はどうですか」橋本「一般角で考える場合は、単位円の利用です」橋本「図の様に単位円上に点を取ります」内田「やっぱり面積の関係ですか」森「次の三角形の面積公式を使います」橋本「やってみます」ヨッシー先生「上手く出ましたね」森「コサインの加法定理が使えるなら、その公式を使った証明もできます」内田「えっ？どうするの？」森「コサインからサインに角を使って変換します」内田「なるほど」ヨッシー先生「そうですね。教科書ではこのような導き方が多いですね」今回もいろいろな証明を考えました。いろいろな証明を考えることにより定理の意味がより分かってくると思います。皆さんも、公式や定理は覚えるだけではなく、いろいろな証明を考えることをオススメします。学習がきっと楽しくなると思います。　　今回はここまでです。次回をお楽しみに。
23Feb
- 分野別基本シリーズ【三角関数】（三角比9　加法定理1）
  【三角関数】（三角比9　加法定理1）こんにちは。今回は加法定理について学びます。教科書の内容を復習しながら応用の問題も考えていきます。登場人物2年Ａ組担任数学教師ヨッシー、クラスの室長あつし数学好きの森、数学嫌いの華子、お調子者の内田、しっかり者の橋本、クラスのマドンナ麗子ヨッシー先生「今回は三角関数の加法定理について考えます」内田「定理は覚えています。cos（α＋β）の展開式です。何をするのですか」ヨッシー先生「例によって証明をいろいろ考えてみます」森「定理を深く理解するためですね」内田「何を考えたらよいですか」森「コサインなので余弦定理ですか」ヨッシー先生「それでは、余弦定理で証明してみましょう」森「上の図で余弦定理は①式です」橋本「図の様にα、βを取って①式の右辺を計算します」ヨッシー先生「それでは皆さん、考えてみましょう」森「①式と②式を利用します」内田「これならできそうですね」橋本「できました。cosθなので余弦定理なのですね」ヨッシー先生「それでは次の図で考えてみましょう」森「ポイントは∠CAD＝αです」橋本「うまくできました」森「一般角で求めてみます。単位円を考えます」内田「距離の公式を使えばいいですね」橋本「距離の公式は三平方の定理だから、結局、余弦定理ですね」ヨッシー先生「そうですね。いろいろな証明ができて面白いですね」今回はここまでです。次回はsinθの加法定理について考えます。問題は、一度自分で考えてみることをおすすめします。公式は途中の証明を考えるとより興味深くなります。いろいろ考えてみてくださいね。
21Feb
- 分野別基本シリーズ【三角関数】（三角比8　面積2）
  【三角関数】（三角比8　面積2）こんにちは。今回は三角形の面積について学びます。教科書の内容を復習しながら応用の問題も考えていきます。登場人物2年Ａ組担任数学教師ヨッシー、クラスの室長あつし数学好きの森、数学嫌いの華子、お調子者の内田、しっかり者の橋本、クラスのマドンナ麗子ヨッシー先生「今回は座標から三角形の面積を求めます」内田「具体的にどんな問題になりますか」森「いろいろな解法で求めるわけですね」内田「そんなに解法があるのですか」橋本「考えてみましょう。面積の基本は底辺と高さの積です」森「後はsinθを求める解法です」森「中学生が考える解法を考えました」内田「確かにこの解法は考えやすいと思います」森「問題点は図によって変わることですね」ヨッシー先生「絶対値をつければ変わりません」森「次にsinθを求める方法で解きます」橋本「余弦定理でsinθを求めます」森「さらにsinθの計算が続きます」ヨッシー先生「よくできましたね。それでは他の方法はありますか」内田「高さをどう求めるかだ」橋本「高さなので点と直線の距離の公式を利用できませんか」内田「なるほど。座標なので直線の方程式は求まるわけだ」橋本「うまく求まりました」内田「同じ公式ですが、いろいろな方法があるわけですね」ヨッシー先生「今回、中学生の考える解法が出てきましたが、この素朴な解法が悪いと言うわけではありません。素朴な解法があるので発展的な解法も考えられるのです」皆さんも同じ公式であっても素朴な解法を含めて、複数の解法で考えてみると面白いと思います。今回はここまでです。次回をお楽しみに。
20Feb
- 分シリーズシリーズ【三角関数】（三角比7　面積）
  【三角関数】（三角比7　面積）こんにちは。今回は三角形の面積について学びます。教科書の内容を復習しながら応用の問題も考えていきます。登場人物2年Ａ組担任数学教師ヨッシー、クラスの室長あつし数学好きの森、数学嫌いの華子、お調子者の内田、しっかり者の橋本、クラスのマドンナ麗子ヨッシー先生「皆さん、三角形の面積公式はいくつ知っていますか」内田「底辺と高さをかけて2で割る」森「面積を求める基本です。高さと底辺の長さから求める公式です」内田「他に公式があるわけですか」ヨッシー先生「三角形はどのように決まりましたか」内田「決まる条件は合同条件。そうか3つの条件に対応する公式があるはずですね」森「それぞれの条件で公式を考えてみます」森「最初に2辺の長さと間の角が与えられたときです」橋本「高さがサインで表現されるわけです」森「次に3辺の長さが与えられたときです」内田「高さを辺の長さからどう求めるかですね」森「次は素朴な解法で中学生の考える解法です」内田「高さＡＨを2通りで表現して高さを求めるわけだ」橋本「確かにこの解法なら中学生でもできますね」森「高さを求めてから公式を出すまでの計算は少し複雑です」森「次々と因数分解できるわけです」橋本「ヘロンの公式ですね。これで高さが3辺で表現されます」森「次は三角比を使って求めた解法です」森「まとめた次の公式はヘロンの公式を呼ばれています」森「次に2つの内角と一辺が分かっているときです」内田「これはどう考えますか」橋本「二つの角が分かっているので正弦定理が使えそうです」ヨッシー先生「求まりましたね。3つ目はあまり目にしない公式ですが公式があるはずと考えることが大切だと思います」今回はここまでです。公式は理解してもう一度導いて見ることをおすすめします。しっかりと基本を理解してください。今回はここまでです。次回をお楽しみに。
19Feb
- 分野別基本シリーズ【三角関数】（三角比5　正弦定理①）
  【三角関数】（三角比5　正弦定理①）こんにちは。今回は正弦定理について学びます。教科書の内容を復習しながら応用の問題も考えていきます。登場人物2年Ａ組担任数学教師ヨッシー、クラスの室長あつし数学好きの森、数ｐ学嫌いの華子、お調子者の内田、しっかり者の橋本、クラスのマドンナ麗子ヨッシー先生「今回は正弦定理のお話です」内田「前回、余弦定理を習いましたが、何が違うのですか」ヨッシー先生「三角形の合同条件は3つあります」内田「前回の余弦定理は2辺と間の角、3辺相等の2つが対応していました」橋本「合同条件の2つの内角と一つの辺の場合が残っている」森「その場合に対応しているのが正弦定理です」内田「よく分からないので、具体的な問題に移ってください」ヨッシー先生「それでは正弦定理を導いてみましょう」内田「高さＡＤを内角の三角比を使って表現します」橋本「2通りの表現があります」内田「どのように変形しますか」森「角Ｂと角Ｃの三角比の表現を使います」ヨッシー先生「注意があります。図についてです」森「いつも同じ図にならないと言うことですね」橋本「このような図になります」ヨッシー先生「円周上に三角形の頂点をとる上手い解法もあります」内田「なるほど。これは分かりやすい証明です」ヨッシー先生「三角形の高さから何が求まりますか」内田「面積です」ヨッシー先生「面積の公式も求まりますが、次回の課題としましょう」ヨッシー先生「正弦定理より3辺の比はどうなりますか」森「辺の比は内角の正弦の比ということです」ヨッシー先生「具体的な問題を解いてみましょう」森「2つの内角と一つの辺が与えられています」内田「後は変形して値を求めます」この講座では基本の内容が学べるようにという意図で作っています。定理や公式の証明を自分でもう一度行うと効果的です。定理の背景や応用にも触れていますので参考にしてください。あわてることはないのでじっくり基本を固めてくださいね。今回はここまで。次回をお楽しみに。
17Feb
- 分野別基本シリーズ【三角関数】（三角比4　余弦定理②）
  【三角関数】（三角比4 　余弦定理②）こんにちは。今回は余弦定理の使い方について学びます。教科書の内容を復習しながら応用の問題も考えていきます。登場人物2年Ａ組担任数学教師ヨッシー、クラスの室長あつし数学好きの森、数学嫌いの華子、お調子者の内田、しっかり者の橋本、クラスのマドンナ麗子ヨッシー先生「今回は余弦定理の使い方について学びます」内田「どういうことですか」森「三角形には3つの内角、3つの辺があります」橋本「その6つの量からいくつの量で三角形が決まるか、と言うことです」内田「分かるけど、どのように考えますか」ヨッシー先生「三角形が決まる条件について学びませんでしたか」内田「決まる条件？」橋本「三角形の合同条件です」内田「ああ、そうか。合同と言うことは三角形が決まるわけだ」内田「上の合同条件ですと3つの量です」森「問題は、余弦定理とどのように対応しているかですね」橋本「それぞれの場合に対して①式と②式が対応しています」森「対応を意識すると、解法がよく理解できます」ヨッシー先生「どうして解けるかという理解は大切ですね」ヨッシー先生「それでは、具体に問題を考えてみましょう」森「上の2つの場合について自分で問題を作るといいと思います」森「①の問題です。これは2辺の長さと間の角を与えれば良いので作りやすいです」橋本「次は②です。3辺をどう設定するかです」森「何でも設定すれば良いというわけではないですね」内田「そうか、場合によっては三角形が作れないわけだ」森「これはどうやって問題を作りましたか」橋本「2辺と間の角を与え余弦定理から3つ目の辺を求めて作りました」内田「そうか、問題作成も大変ですね。問題を作ると力もつきそうです」　　今回はここまでです。次回は正弦定理です」
16Feb
- 分野別基本シリーズ【三角関数】（三角比➂余弦定理の意味）
  【三角関数】（三角比➂余弦定理の意味）こんにちは。今回は余弦定理の証明について学びます。教科書の内容を復習しながら応用の問題も考えていきます。登場人物2年Ａ組担任数学教師ヨッシー、クラスの室長あつし数学好きの森、数学嫌いの華子、お調子者の内田、しっかり者の橋本、クラスのマドンナ麗子ヨッシー先生「今回は余弦定理についてのお話です」内田「どんな定理ですか」森「三角形の辺と角の関係式です」橋本「内田、三角形の辺での基本定理は何かわかるかい」内田「三平方の定理？」橋本「だとしたら、三平方の定理を使って関係式が作れる？」森「考えてみます」ヨッシー先生「赤い式がヒントです。考えてみましょう」森「図で直角三角形DBCに三平方の定理を使います」内田「三平方の定理で導かれる定理が余弦定理なんですね」森「三平方の定理を拡張した定理が余弦定理です」橋本「確かに∠A＝90°のときは三平方の定理です」ヨッシー先生「証明で何か問題点はありませんか」森「証明は正しいと思います」橋本「何か問題点がありますか」ヨッシー先生「次の図2を見てください」森「図1と違いますね」内田「∠Aが鈍角です」橋本「この場合、点Bから対辺ACに下ろした垂線の足Dが線分AC外の点となっています」森「∠Aが鈍角の場合は、同じ図1を使って証明できないんですね」ヨッシー先生「そうですね。それでは図2で証明してみましょう」森「∠Aが鈍角なのでDA＝ーc cosAです」橋本「②式が成り立ち、△DBCで三平方の定理を使えば良い」ヨッシー先生「実質、図1の場合と証明は同じになりますね」森「図を使う場合は注意が必要だとわかりました」ヨッシー先生「次に余弦定理から分かる三角形の性質を調べます」ヨッシー先生「大きい辺に対する角は、小さい辺に対する角よりも大きいと言う性質です」森「余弦定理のcosθに注目するのですね」橋本「角の大小関係では➂式が成り立ちます」森「この関係を余弦定理から辺の関係になおせばできそうです」森「大小関係なので差をとります」森「④式の変形が複雑です」ヨッシー先生「そうですね。一度確認しておいてください」橋本「④式が負になることは、2辺の和は他の1辺より大という関係式を使っています」ヨッシー先生「最後に鈍角の性質を出してみましょう」森「Aが鈍角の場合cosθは負の値です」橋本「その性質を使えば良い」ヨッシー先生「余弦定理でいろいろな性質がわかりました」次回は、余弦定理の使い方についてさらに考えていきます。次回をお楽しみに。
15Feb
- 分野別基本シリーズ【三角関数】（三角比➂）
  【三角関数】（三角比➂）こんにちは。今回は鈍角の三角比について学びます。教科書の内容を復習しながら応用の問題も考えていきます。登場人物2年Ａ組担任数学教師ヨッシー、クラスの室長あつし数学好きの森、数学嫌いの華子、お調子者の内田、しっかり者の橋本、クラスのマドンナ麗子ヨッシー先生「今回は鈍角の三角比について勉強します」内田「鈍角では直角三角形の角にはなりませんよね」森「だから、同じ定義では求まらないので、角を拡張した考えで定義します」内田「具体的に言ってください」森「図1を見てください」森「円上の点の座標で三角比を定義します」橋本「単位円（半径1の円）上Pに点をとり、x軸正の向きとOPのなす角をθとする」橋本「内田、cosθとsinθはどこの値になる？」内田「えっ！OPが1だから点Pのx座標がcosθ、y座標がsinθになる」橋本「そう、半径が1の円周上なので点Pの座標①が三角比の値なんだ」内田「ということは、角が鈍角の時も点の座標で三角比を定義する！」橋本「分かっているじゃないか。それが②式」ヨッシー先生「それではθ＝150°のときの三角比を求めてみましょう」内田「円周上で角が150°の点Qを取る。点Qの座標を読み取れば良い」森「座標の読み取りは、斜辺が1の直角三角形の辺の比から求めれば良いわけです」内田「なるほど。それで点Qの座標が求まる三角比がわかるわけだ」ヨッシー先生「tanθはどうしますか」森「tanθ＝sinθ/cosθで求まります」内田「図示はできないですか」橋本「tanθは直線OPの傾きだからどうなりますか」森「上の図でtanθは直線OQの傾きなので、直線x＝1と直線OQの交点Hのy座標がtanθとなります」内田「どうしてですか」森「xが1変化したときのyの変化量が傾きだからです」ヨッシー先生「それでは問題を解いてみましょう」内田「sinθが分かっているので円周上のy座標が1／2の点から角を求める」森「比の関係から角が求まります」ヨッシー先生「もう1題、tanθの問題を解いてみましょう」森「直線x=1上の点Hを描きOHと円の交点が点P、あとは点Pの作る角を求めればよいわけです」内田「いずれの問題も図に書いて比の関係から角を求めるわけですね」今回はここまでです。次回をお楽しみに。
14Feb
- 分野別基本シリーズ【三角関数】（三角比②）
  【三角関数】（三角比②）こんにちは。今回は三角比の相互関係について学びます。教科書の内容を復習しながら応用の問題も考えていきます。登場人物2年Ａ組担任数学教師ヨッシー、クラスの室長あつし数学好きの森、数学嫌いの華子、お調子者の内田、しっかり者の橋本、クラスのマドンナ麗子内田「ヨッシー先生、前回、山の高さを測りましたが、山までの距離を求めるのは現実的ではないと思いました」ヨッシー先生「良いことに気がつきましたね。短い距離で高さが求められれば現実的です」森「角を複数回測り、短い距離を使って求める工夫をしたらどうでしょうか」橋本「確かに、これなら短い距離lで高さhが求まりそうです」内田「どう求めればいいですか」森「高さhをα、βで求めてみればよいです」橋本「tanα、tanβを求めます（＊）」森「hを等しいとおけば関係が求まります」内田「なるほど。この式なら実際に使えそうです」ヨッシー先生「いずれにしても、角をいかに利用するかがポイントです」ヨッシー先生「次に三角比の相互関係について学びます」内田「なんですか、それは」森「sinθ、cosθ、tanθの関係式です」内田「どういう関係式ですか」橋本「直角三角形の辺の関係だから…」内田「そうか、三平方の定理だ」森「④式が三平方の定理です。①②➂はこの式から関係式が求まります」橋本「その式が➄式です」内田「相互関係式➄は三平方の定理なんですね」森「もう一つ有名な関係式があります」橋本「⑧式ですね」ヨッシー先生「これらの相互関係式は三平方の定理がもとにあるのです」ヨッシー先生「この基本の三平方の定理は証明できますか」森「いろいろな証明法が知られていますね」ヨッシー先生「そうですね。今回はアインシュタインが見つけた証明を紹介します」森「頂点から対辺に垂線を引いたとき、3つの相似の直角三角形ができる」橋本「面積比は相似比の2乗なので⑨式のようにかける」内田「それで⑩式が成り立つわけだ」森「簡単ですが、本質をついた面白い証明ですね」今回はここまでです。次回をお楽しみに。
13Feb
- 分野別基本シリーズ【三角関数】（三角比①）
  【三角関数】（三角比①）こんにちは。今回は三角比について学びます。教科書の内容を復習しながら応用の問題も考えていきます。登場人物2年Ａ組担任数学教師ヨッシー、クラスの室長あつし数学好きの森、数学嫌いの華子、お調子者の内田、しっかり者の橋本、クラスのマドンナ麗子ヨッシー先生「三角比って何に使いますか」内田「えっ？数学でしょ」森「それはそうですが、長さを測るときに使います」森「内田君、山の高さを測るとき、どうしますか」橋本「まさか、定規では測らないよな」森「図1の山の高さを測るとします」森「点Ａから山の頂上Ｃを見上げた時の角をθとします」内田「そうか。図2のように角θで相似の三角形を作れば高さが求まる」橋本「ここでポイントは角を使った相似と言うことです」内田「直角三角形で角が決まれば辺の比が決まる、それを三角比というわけだ」ヨッシー先生「そうですね。角が分かれば比が決まるわけです。三角比の記号をまとめておきましょう」森「sinθ、cosθ、tanθと3つあります」橋本「辺の比からθ＝30°、45°、60°は求まりますね」ヨッシー先生「今回はθ＝15°、72°の三角比を求めてみます」森「それぞれの三角形で辺の比が求まれば良いわけですね」橋本「θ＝15°のときです」内田「なるほど。二等辺三角形からうまく辺の長さが求まりますね」橋本「次はθ＝72°です。これは36°✕5＝180°を使い次の二等辺三角形を作ります」橋本「相似な二等辺三角形が2つあり、比の関係から求まります」内田「相似を使うわけですね」ヨッシー先生「どの角の三角比が求まるかは興味深いですね。例えばsig1°は求まるでしょうか。今後の課題にしておきましょうね」　本日はここまで。次回をお楽しみに。
12Feb
- 分野別基本シリーズ【ベクトル】（空間の平面②）
  【ベクトル】（空間の平面②）こんにちは。今回は空間上の平面と点の距離公式について学びます。教科書の内容を復習しながら応用の問題も考えていきます。登場人物2年Ａ組担任数学教師ヨッシー、クラスの室長あつし数学好きの森、数学嫌いの華子、お調子者の内田、しっかり者の橋本、クラスのマドンナ麗子ヨッシー先生「点と平面の距離公式について考えてみましょう」内田「そういえば点と直線の距離の公式が確かありましたね」ヨッシー先生「そうですね。ここで扱うのはその拡張版です」内田「点と直線の距離公式の復習にもなるわけですね」ヨッシー先生「ここでは平面の法線ベクトルがポイントになります。森「点と平面の最短距離を点と平面の距離といいます」橋本「基本事項を整理してみます」森「法線ベクトル（平面に垂直なベクトル）がポイントです」橋本「①式が成立します」内田「この式から点Ｈ（垂線と平面の交点）の座標が表示されるわけだ」森「それが②式です」森「それが④式となり、④式を平面の方程式➂式に代入する」橋本「そこからＫの値が求まります」橋本「ｋの値が➄式となります」森「ここから距離dが求まります」内田「この式は点と直線の距離公式に似ていませんか」ヨッシー先生「そうですね。導き方は同じです。同じ構造の定理ということです」森「こういうところが数学の面白さですね」今回はここまで。次回をお楽しみに。
11Feb
- 分野別基本シリーズ【ベクトル】（空間の平面①）
  【ベクトル】（空間の平面①）こんにちは。今回も空間上の平面について考えます。教科書の内容を復習しながら応用の問題も考えていきます。登場人物2年Ａ組担任数学教師ヨッシー、クラスの室長あつし数学好きの森、数学嫌いの華子、お調子者の内田、しっかり者の橋本、クラスのマドンナ麗子ヨッシー先生「平面の方程式についてもう少し考えてみましょう」内田「x、y、zの一次式が平面の方程式でしたね」ヨッシー先生「その平面や直線について今回も考えてみます」ヨッシー先生「具体的な例で平面を考えてみましょう」森「①式が平面の方程式でした」橋本「これはs、tを使った媒介変数表示でした」ヨッシー先生「ここからx、y、zの一次式をベクトルの内積で出します」内田「何をするのですか」ヨッシー先生「平面に垂直な向きを持つ法線ベクトルを求めます」橋本「法線ベクトルは②式の内積で求まります」内田「具体的に教えてください」森「平面上の2つのベクトルと垂直。②式の内積計算から➂式となります」橋本「➂式から④式、そこから法線ベクトルが求まります」森「後は⑥式は➆式でx、y、zの1次式となります」ヨッシー先生「それでは具体的な例題を解いてみましょう」森「平面αと点Ｐの最短距離を求める問題ですね」橋本「図の様に点Ｐから平面αに垂線を引き交点Ｈまでの距離を求めればよい」ヨッシー先生「そうですね。方針をまとめてみましょう」森「①直線ＰＨを求める、②その直線と平面αの交点Ｈを求める」森「直線ＰＨの方向ベクトルは平面αの法線ベクトルです」森「方向ベクトルと通る点Ｐがわかり、直線ＰＨは②式となります」森「後は②式を平面の方程式に代入してtを求めます」森「tの値が求まりＨの座標が求まります」橋本「後は距離の公式からＰＨを求め、その値が最短距離となります」ヨッシー先生「そうです。実は点と平面の距離の公式があります。次回、導いてみましょう」今回はここまでです。次回をお楽しみに。
10Feb
- 分野別基本シリーズ【ベクトル】（空間のベクトル）
  【ベクトル】（空間のベクトル）こんにちは。今回は空間のベクトルについて考えます。教科書の内容を復習しながら応用の問題も考えていきます。登場人物2年Ａ組担任数学教師ヨッシー、クラスの室長あつし数学好きの森、数学嫌いの華子、お調子者の内田、しっかり者の橋本、クラスのマドンナ麗子ヨッシー先生「今回は空間上のベクトルについて学びます」内田「平面上のベクトルと何が違いますか」森「定義や計算は変わらないと思います。成分表示について確認します」内田「空間なのでｚ軸が増えるわけだ」森「始点が原点のときの終点の座標でベクトルを表す」橋本「計算法則も例えば和なら、成分ごとの和になります」内田「平面のベクトルの場合とほとんど変わりませんね」ヨッシー先生「今回は空間上の平面の表現について学びましょう」内田「平面の方程式ですか」森「表現の仕方はいろいろありそうです」ヨッシー先生「一直線線上にない3点Ａ，Ｂ，Ｃを通る平面を考えます」橋本「平面上の点をＰとします。②式のようにt、sで表します」内田「この変数はどういう意味ですか」森「s、ｔが値を変えることにより点Ｐは平面上を動きます」内田「どんな値でも言いわけだ」ヨッシー先生「そうです。s、tは実数値で平面の媒介変数表示と言われます」森「②式を変形してみます。②式の始点を原点Ｏにします」橋本「いわゆる後ろから前を引く変形ですね」森「➂式の様になります。係数の和が1になります」橋本「2つのベクトルで係数の和が1の時はどうだった？」内田「確か、直線？」橋本「そうだね」ヨッシー先生「それでは具体的な例で確認してみましょう」森「この場合ですと④式のようになります」橋本「係数s+t+u=1となるのでもう少し変形できます」森「➄式のようなx、y、zの一次式になります」内田「平面の方程式は、x、y、zの一次式になるのですね」橋本「s、t、uの一次式から来ているわけです」ヨッシー先生「一次式の➄式は他の導き方もできます。これについては次回考えてみましょう」今回はここまでです。次回をお楽しみに。
09Feb
- 分野別基本シリーズ【ベクトル】（内積の応用）
  【ベクトル】（内積の応用）こんにちは。今回はベクトルの内積の応用について考えます。教科書の内容を復習しながら応用の問題も考えていきます。登場人物2年Ａ組担任数学教師ヨッシー、クラスの室長あつし数学好きの森、数学嫌いの華子、お調子者の内田、しっかり者の橋本、クラスのマドンナ麗子ヨッシー先生「中線定理を知っていますか」内田「中線って三角形で頂点から対辺の中点を結んだ線分ですよね」内田「何か定理がありましたか」森「その中線に関わる長さの定理です。今回は内積で証明を考えるわけですね」ヨッシー先生「そうです。最初に内積の計算公式をまとめてみましょう」森「①式で大きさが求まるわけです」橋本「②式が分配法則です」森「（例）は①と②式で展開できます」橋本「図形的な意味は三角形の余弦定理です」内田「内積は展開するだけで余弦定理が導かれるわけだ」ヨッシー先生「それでは中線定理を証明してみましょう」内田「➂式が中線定理なんだ」森「内積を使って計算してみます」森「2つのベクトルを設定して内積での長さの計算です」内田「上手く計算できますね」ヨッシー先生「別解を考えてみましょう。どうですか」森「余弦定理の利用ですか」ヨッシー先生「図のように2つの三角形に余弦定理を適用します」橋本「なるほど、点Ｍのところで角を二つに分けて考えるんですね」森「これも鮮やかな解答です」ヨッシー先生「内積は余弦定理の適用と同じというわけです」今回はここまでです。次回をお楽しみに。
08Feb
- 分野別基本シリーズ【ベクトル】（内積の定義）
  【ベクトル】（内積の定義）こんにちは。今回はベクトルの内積ついて考えます。教科書の内容を復習しながら応用の問題も考えていきます。登場人物2年Ａ組担任数学教師ヨッシー、クラスの室長あつし数学好きの森、数学嫌いの華子、お調子者の内田、しっかり者の橋本、クラスのマドンナ麗子ヨッシー先生「今回はベクトルの内積です。内積の意味について考えてみましょう」ヨッシー先生「以下①式が内積の定義です」森「なす角θは始点をそろえた時の角です」橋本「内積の値は実数値です」森「内積の意味について聞かれると困りますね」橋本「①式は分かるようで分からない式です」森「まず、積と言うことですが、どのように考えますか」橋本「内積の交換法則は成り立つので、分配法則が成り立つはずです」内田「そのような記号になっていると言うことですね」森「ベクトルは大きさと向きを持っています。大きさと向きの関わる定理と言えば…」橋本「三角形で言うと角と辺の関係式です」内田「ということは、余弦定理」森「整理しています」橋本「➂式が余弦定理、図の赤の部分を内積で定義したわけだ」内田「だから内積の計算で大きさが求まるわけですね」森「➂式から内積の成分表示を求めます」橋本「内積の成分表示は④式のようになりました」森「後は④式から内積が分配法則➄式を満たしていることを示せば良い」森「➄式の左辺は➄式の右辺と等しくなります」橋本「内積は、分配法則を満たし、積と同じ計算が可能と言うことです」ヨッシー先生「今回は内積の意味について考えてみました。　　　　次回はその応用について考えます」　今回はここまで。次回をお楽しみに。
07Feb
- 分野別基本シリーズ【ベクトル】（成分と大きさ）
  【ベクトル】（成分と大きさ）こんにちは。今回はベクトルの成分と大きさついて考えます。教科書の内容を復習しながら応用の問題も考えていきます。登場人物2年Ａ組担任数学教師ヨッシー、クラスの室長あつし数学好きの森、数学嫌いの華子、お調子者の内田、しっかり者の橋本、クラスのマドンナ麗子あつし「ベクトルの基本が分かってきました」内田「ヨッシー先生、今回は何をしますか」ヨッシー先生「ベクトルの成分表示と大きさです」森「ベクトルを数値で正確に表現する方法ですね」森「原理は簡単です。ベクトルの始点が原点の時の終点の座標でベクトルを表します」内田「なるほど、簡単だ」ヨッシー先生「そうですね。それでは、成分表示の和、実数倍がどうなるか考えます」橋本「（図1）を見てください。成分の和は、各成分の和となります」内田「実数倍も同じですね」橋本「ベクトルの大きさは三平方の定理です」内田「なるほど。座標で勉強した知識と重なりますね」橋本「確認にもなるし、復習にもなるわけです」ヨッシー先生「知識は関連があるので、結びつきやすいのです」森「理系の知識の特色かも知れませんね」ヨッシー先生「それでは応用問題を解いてみましょう」森「いつものように複数の解法で取り組んでみます」橋本「ます、成分の計算で解いてみます」森「実質は2次関数の最小問題です」ヨッシー先生「そうですね。ここではどうして最小値を持つのか」内田「えっ？どういうことですか」橋本「何かあるわけですね。図形の意味を考えてみます」内田「直線を表しているわけだ。と言うことは…」内田「最短となるのはＸが原点から直線に下ろした交点Ｈの時」橋本「後は直線lと原点の距離が求める最短距離となります」森「点と直線の距離の公式を使います」内田「最短になるという背景があるわけだ」ヨッシー先生「背景を意識し出すと数学がより魅力的になりますよ」今回はここまで。次回をお楽しみに。
06Feb
- 分野別基本シリーズ【ベクトル】（チェバの定理）
  【ベクトル】（チェバの定理）こんにちは。今回はベクトルを利用してチェバの定理ついて考えます。教科書の内容を復習しながら応用の問題も考えていきます。登場人物2年Ａ組担任数学教師ヨッシー、クラスの室長あつし数学好きの森、数学嫌いの華子、お調子者の内田、しっかり者の橋本、クラスのマドンナ麗子ヨッシー先生「今回もベクトルでチェバの定理を証明してみましょう」内田「同じようにできそうです」ヨッシー先生「そうですね。いい演習問題になります」森「まず、ベクトルの設定です。始点はＡにします」橋本「点Ｄ、Ｆの位置を文字（①式）で決めてＡＰとＢＣの交点Ｅを求めます」森「点ＰはＢＦとＣＤの交点なので②式の比を使い2通りで表現します」橋本「2通りで表現して係数を比較するわけです」内田「2通りの表現が➂式、係数比較が④式」森「lとｍはsとtで表します」ヨッシー先生「どの文字で表現するか決めて計算を進めましょう」内田「➄式になることは確認します」森「点Ｐの位置が決まったので後は点Ｅの位置を求めて比を出します」橋本「分点の公式から係数がＢＥとＥＣの比になります」内田「比を求めてかけ算をすれば1になりました」ヨッシー先生「sやｔはマイナスのとき、辺の外分点を表します」内田「交点が辺の外分点の場合も定理は成り立つわけだ」ヨッシー先生「図を描いてみましょう」内田「図2などは違う図形に見えますね」森「同じ関係式が成り立つことは、文字で考えたからですね」ヨッシー先生「文字で考えることの意味は大きいと思います」　　　今回はここまで。次回をお楽しみに。
05Feb
- 分野別基本シリーズ【ベクトル】（メネラウスの定理）
  【ベクトル】（メネラウスの定理）こんにちは。今回はベクトルを利用してメネラウスの定理ついて考えます。教科書の内容を復習しながら応用の問題も考えていきます。登場人物2年Ａ組担任数学教師ヨッシー、クラスの室長あつし数学好きの森、数学嫌いの華子、お調子者の内田、しっかり者の橋本、クラスのマドンナ麗子ヨッシー先生「今回はベクトルでメネラウスの定理を証明してみましょう」内田「そんなことができるのですか」森「文字で比が表現できるので応用範囲は広いと思います」ヨッシー先生「さすが、森君ですね。文字化は一般化で応用が広いです」橋本「ベクトルの設定と、比の設定ですね」森「平面なので二つのベクトルを使うことが基本です」橋本「①、②、➂式から比s、t、uの関係式を求めることが目標です」内田「これなら、できそうですね」橋本「ＤＥとＢＣの交点が点Ｆです。これから④式となります」森「点ＦはＢＣ上の点なので係数の和が1です（➄式）」内田「後は比をどう表すかだ」森「比について整理してみます」森「Ａ、Ｄ、Ｂは一直線上なので比は⑥式となります。同様に➆式です」内田「なるほど。いわゆるｔ：（1－ｔ）の置き方だね」森「もう一つ。点Ｆの表現です」橋本「⑧式で点ＦはＢＣの外分点です」森「分点の公式から比は⑨式のように分母にマイナス1がつきます」内田「なるほど。でも結局分点の公式ですね」森「後はuを消去してメネラウスの定理が証明できます」ヨッシー先生「できましたね。ここで注意はＤ，Ｅ，Ｆは各辺の外分点でも良いことです」内田「どういうことですか」森「図に描いてみます」ヨッシー先生「比が文字なのですべて成立することがわかります」内田「ベクトルの威力はすごい！」今回はここまで。次回をお楽しみに。
04Feb
- 分野別基本シリーズ【ベクトル】（分点の公式②）
  【ベクトル】（分点の公式②）こんにちは。今回はベクトルの分点の公式ついて考えます。教科書の内容を復習しながら応用の問題も考えていきます。登場人物2年Ａ組担任数学教師ヨッシー、クラスの室長あつし数学好きの森、数学嫌いの華子、お調子者の内田、しっかり者の橋本、クラスのマドンナ麗子ヨッシー先生「今回はベクトルで比の問題を扱います」森「図形の問題は、比の問題と言っていいくらいですね」ヨッシー先生「ベクトルでは、分点の公式が比の問題で扱われます」内田「ということは、分点の公式を扱うわけだ」ヨッシー先生「この公式を証明できますか」森「ＢＰ：ＰＣ＝m：nを使うわけですね」橋本「それが①式です。①式で始点をＡにそろえます」内田「例の始点をそろえる変形ですね」森「②式を整理すると公式になります」ヨッシー先生「分点の公式は図の様に比がクロスしているので「たすきの公式」ともいわれます」内田「たすきと思えておけば良いわけですね」ヨッシー先生「それでは問題を解いてみましょう」内田「これは難しそうだ。順にベクトルで表現できるかが問題」森「分点の公式の適用ですね」橋本「解く方針をまとめてみます」橋本「最後にＫを求めれば比が分かります」森「④式の表現がポイントになります」森「結局➄式となります」森「➄式から3点Ａ、Ｆ、Ｃが同一直線上なので⑥式となります」橋本「これから比が求まりました」ヨッシー先生「いいですね。良くできました」内田「これって、メネラウスの定理でできませんか」橋本「内田、いいことに気がついたな」森「ということはメネラウスの定理はベクトルで証明できる」ヨッシー先生「そうです。次回はその証明をベクトルで行いましょう」今回はここまで。次回をお楽しみに。