チャレンジしMATH(595)

ネット拾い問題

ニュートンの冷却法則を用いた微分方程式の問題。

―――俺の答え―――

$$\begin{array}{r}\mathrm{プ}\mathrm{リ}\mathrm{ン}\mathrm{の}\mathrm{温}\mathrm{度}\mathrm{を}T°C、6\mathrm{時}\mathrm{か}\mathrm{ら}\mathrm{の}\mathrm{時}\mathrm{間}\mathrm{を}t\mathrm{時}\mathrm{間}、\\ \mathrm{比}\mathrm{例}\mathrm{定}\mathrm{数}\mathrm{を}k、\mathrm{積}\mathrm{分}\mathrm{定}\mathrm{数}\mathrm{を}{C}_1,C\mathrm{と}\mathrm{す}\mathrm{る}。\\ \mathrm{プ}\mathrm{リ}\mathrm{ン}\mathrm{の}\mathrm{温}\mathrm{度}\mathrm{の}\mathrm{降}\mathrm{下}\mathrm{速}\mathrm{度}\mathrm{は}\mathrm{そ}\mathrm{の}\mathrm{時}\mathrm{の}\mathrm{プ}\mathrm{リ}\mathrm{ン}\\ \mathrm{の}\mathrm{温}\mathrm{度}\mathrm{と}\mathrm{冷}\mathrm{蔵}\mathrm{庫}\mathrm{の}\mathrm{温}\mathrm{度}\mathrm{の}\mathrm{差}\mathrm{に}\mathrm{比}\mathrm{例}\mathrm{す}\mathrm{る}\mathrm{の}\mathrm{で}\\ \frac{dT}{dt}=-k(T-4)\\ \int \frac{dT}{T-4}=-k\int dt\\ \log (T-4)=-kt+C_1\\ T=C{e}^{-kt}+4\\ t=0\mathrm{で}T=69\mathrm{だ}\mathrm{か}\mathrm{ら}Ｃ=65\\ t=1\mathrm{で}T=30\mathrm{だ}\mathrm{か}\mathrm{ら}{e}^{-k}=26/65\\ \therefore T=65(26/65{)}^t+4\\ \mathrm{欲}\mathrm{し}\mathrm{い}\mathrm{の}\mathrm{は}T=7\mathrm{の}\mathrm{と}\mathrm{き}\mathrm{の}t\mathrm{だ}\mathrm{か}\mathrm{ら}、\\ t=\frac{\log (3/65)}{\log (26/65)}=3.357\\ \mathrm{従}\mathrm{っ}\mathrm{て}\mathrm{答}\mathrm{え}\mathrm{は}、9\mathrm{時}22\mathrm{分}\end{array}$$