(2) については → こちら（実標準内積の対称性）
\documentclass[a4paper,12pt]{jsarticle}
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\usepackage{amssymb}
\usepackage{bm}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
$\mathbb{R}:=\{ x\ |\ x\ \text{は実数}\}$．
$\mathbb{R}^n:=\{ (x_1,\ x_2,\ \ldots ,\ x_n)\ |\ x_i\in\mathbb{R}\ (i=1,\ 2,\ \ldots ,\ n)\}$ において，
\begin{align*}
\langle (x_1,\ x_2,\ \ldots ,\ x_n),\ (y_1,\ y_2,\ \ldots ,\ y_n)\rangle := \sum_{i=1}^n x_iy_i.
\end{align*}
このとき，任意の $\bm{x}\in\mathbb{R}^n$ に対して，
\begin{align*}
\langle \bm{0},\ \bm{x}\rangle &= 0. \tag{1}\\
\langle \bm{x},\ \bm{0}\rangle &= 0.
\end{align*}
\bigskip
\noindent
（証明）
$\bm{x}=(x_1,\ x_2,\ \ldots ,\ x_n)$ とすると，
\begin{align*}
\langle \bm{0},\ \bm{x}\rangle
&= \sum_{i=1}^n 0x_i \\
&= \sum_{i=1}^n 0 \\
&= 0. \\
\langle \bm{x},\ \bm{0}\rangle
&= \langle \bm{x},\ \bm{0}\rangle \tag{2}\\
&= 0.\qquad(\because(1))
\end{align*}
\end{document}