\documentclass[a4paper,12pt]{jsarticle}
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\usepackage{enumerate}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
$\mathbb{R}:=\{ x\ |\ x\ \text{は実数}\}$．
$\mathbb{R}^n:=\{ (x_1,\ x_2,\ \ldots ,\ x_n)\ |\ x_i\in\mathbb{R}\ (i=1,\ 2,\ \ldots ,\ n)\}$ において，
\begin{align*}
\langle (x_1,\ x_2,\ \ldots ,\ x_n),\ (y_1,\ y_2,\ \ldots ,\ y_n)\rangle := \sum_{i=1}^n x_iy_i.
\end{align*}
このとき，
\begin{align*}
\langle \bm{x},\ \bm{x}\rangle =0 \quad\Longleftrightarrow\quad \bm{x}=\bm{0}.
\end{align*}
\bigskip
\noindent
（証明）
\begin{align*}
& \langle \bm{x},\ \bm{x}\rangle =0 \\
\Longleftrightarrow\quad& \sum_{i=1}^n x_i{}^2 =0 \\
\Longleftrightarrow\quad& x_i=0\ (i=1,\ 2,\ \ldots ,\ n) \\
\Longleftrightarrow\quad& (x_1,\ x_2,\ \ldots ,\ x_n)=(0,\ 0,\ \ldots ,\ 0) \\
\Longleftrightarrow\quad& \bm{x}=\bm{0}.
\end{align*}
\end{document}