\documentclass[a4paper,12pt]{jsarticle}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
$\mathbb{C}:=\{ z\ |\ z \text{は複素数}\}$．
$\mathrm{Re}\ z := z \text{の実部}$．（$z\in\mathbb{C}$）
集合 $V$ において，和 $+$，エルミート形式 $\langle\ ,\ \rangle$ が定義されると，次が成り立つ：
\begin{itemize}
\item
任意の $x,\ y\in V$ に対して，
\begin{align*}
x+y\in V.
\end{align*}
\item
任意の $x,\ y\in V$ に対して，
\begin{align*}
\langle x,\ y\rangle\in\mathbb{C}.
\end{align*}
\item
任意の $x,\ y,\ z\in V$ に対して，
\begin{align*}
\langle x,\ y+z\rangle =\langle x,\ y\rangle +\langle x,\ z\rangle. \tag{1}
\end{align*}
\item
任意の $x,\ y\in V$ に対して，
\begin{align*}
\langle x,\ y\rangle = \overline{\langle y,\ x\rangle}. \tag{2}
\end{align*}
\end{itemize}
\bigskip
このとき，任意の $x,\ y\in V$ に対して，
\begin{align*}
\langle x+y,\ x+y\rangle = \langle x,\ x\rangle +2\mathrm{Re}\langle x,\ y\rangle +\langle y,\ y\rangle.
\end{align*}
\bigskip
\noindent
（証明）
\begin{align*}
\langle x+y,\ x+y\rangle
&= \langle x+y,\ x\rangle+\langle x+y,\ y\rangle\qquad(\because(1)) \\
&= \langle x,\ x\rangle+\langle y,\ x\rangle+\langle y,\ x\rangle+\langle y,\ y\rangle \tag{3}\\
&=
\langle x,\ x\rangle+\overline{\langle x,\ y\rangle}+\langle y,\ x\rangle+\langle y,\ y\rangle
\qquad(\because(2))
\\
&= \langle x,\ x\rangle +2\mathrm{Re}\langle x,\ y\rangle +\langle y,\ y\rangle.
\end{align*}
\end{document}