少しづつ、現代数学を勉強してみることにしました。
まずは、この本を読んでみました。
結城浩『数学ガール』（ソフトバンククリエイティブ、2007.06）
（目次）
第１章 数列とパターン
第２章 数式という名のラブレター
第３章 ωのワルツ
第４章 フィボナッチ数列と母関数
第５章 相加相乗平均の関係
第６章 ミルカさんの隣で
第７章 コンボリューション
第８章 ハーモニック・ナンバー
第９章 テイラー展開とバーゼル問題
第11章 分割数
高校1年生の僕が、クールな少女に出会い、一緒に数学の問題を考えていくという面白い設定の本です。
面白そうな部分をかいつまんで、読んでみましょう。
少し要約してあります。
第４章 フィボナッチ数列と母関数
図書館
高校二年の秋。僕は、放課後の図書室で後輩のテトラちゃんに数学を教えていた。簡単な式の展開だ。
（中略）
パターン探し
(1+x)(1-x)=1-x2 （ｘの二乗を止むを得ずx2 と表記します、以下同様）
(1+x+x2)(1-x)=1-x3
(1+x+x2+x3)(1-x)=1-x4
一般的に書こう。ｎを０以上の整数として、次のようになる。
(1+x+x2+x3+…+xn)(1-x)=1-xｎ+1 （ｘのｎ+1乗です）
等比数列の和
最後の式の両辺を 1-x で割る。０で割らないように、１-ｘ≠０と仮定する。
1+x+x2+x3+…+xn＝（1-xｎ+1）／（１-ｘ）
さっきまでは「積を求める公式」めいていたけれど、今度は「和を求める公式」に見える。実際、これは等比数列の和の公式そのものだ。きちんと言えば、第0項が1で、公比がxの等比数列。
つまり〈1,x, x2, x3,...,xｎ,…〉という数列の、第0項から第ｎ項までの和だね。
さて、次はどこに進みたい？
◎ ◎ ◎
……僕は、 等比数列の無限級数を考えるのが自然かな、と言う。第ｎ項までの有限和でやめるのではなく、無限和にするんだ。ミルカさんはにっこり微笑んで「そうね」と答える。
無限級数へ
そうね。無限級数を考えよう。
無限級数 1 + x + x2 + x3 + … は、等比数列の部分和、
1+x+x2+x3+…+xn＝（1-xｎ+1）／（１-ｘ）
の極限として定義される。
xの絶対値が1より小さいとき、すなわち |x| < 1のとき、ｎ→∞なら
xｎ+1→0になるから、以下の式が成り立つ。
1+x+x2+x3+…＝1／（１-ｘ）
これで無限級数が得られた。 |x| <1という条件は、n→∞のときに xｎ+1 が 0 につぶれるために必要になる。
ねえ、きみ、おもしろいと思わない？ 左辺は無限に続く数列の和、項は無数にあるんだから、すべての項を明示的に書くことはできない。それに対して、右辺は一つの分数だ。無数の項の和をたった一つの分数で表現するなんて、コンパクトでいいね。
◎ ◎ ◎
……もう窓の外はだいぶ暗い。図書室に残っているのも、僕とミルカさんだけだ。ミルカさんは調子が出てきたらしく、僕の反応も待たずに「ここから母関数へ進もう」と言った。
（つづく）
【解説】
無限級数とか、難しくなってきましたね。
もう少し我慢してください。
最初の記事にあったフィボナッチ数列の一般項を求めるという壮大な話につながっていきます。
おもしろいですよ。
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獅子風蓮