フォロワーさんの新潟率を調べてみたい。
— 高橋孝輔 (@kosuke_39) 2016年3月22日
新潟に住んでますか？
スマホだと結果見れませんが、
①新潟に住んでいる。
②新潟に住んでいないけど新潟出身。
③新潟関係ない。
の３つの選択肢を用意しました。
結果としては、全１０２票入れて頂き、
①５７% ＝ ５８票
②９％ ＝ ９票
③３４％ ＝ ３５票
となりました。
この結果を元に、全部で本当のところは何人いるのか、統計学チックに推定したいと思います。
本当はこの102名が無作為に選ばれた１０２名じゃないのでサンプリングに恣意性があるとみなされて正確ではなくなってしまうのですが、ここではそれに目をつぶります笑
使用するのは「母比率の区間推定」という手法です。
このアンケートを取った時の私のフォロワー数は２０５６人でした。
統計学的にはこの大元の集団を「母集団」と呼びます。
母集団の新潟在住の比率を「母比率」と呼びます。
そしてアンケートを取った１０２人を統計学的に「標本」と呼び、標本の新潟在住の比率を「標本比率」と呼びます。
アンケートによって、標本の数が１０２、標本比率が５７％とわかりました。
この２つをもとに母比率を推定します。
注意点としては、標本比率が５７％でも、母比率が５７％とは限りません。
あくまでも、１０２人／２０５６人にしか聞けていないのですから。
母比率を推定するのに重要なのが「中心極限定理」です。
簡単に説明するために大幅に端折りますが、中心極限定理とは、母比率と標本比率の差は標本の数が十分に大きければ平均が０の正規分布になる、という定理です。
正規分布を説明するのは面倒なので省略しますが、簡単にいうとこんな感じです。
この形、結構見たことありますよね？
これが正規分布だと思って頂けるくらいでOKです。
今回は標本の数は１０２とそれなりに大きいので中心極限定理がなりたつと考えられます。
この図のμ（「ミュー」と読みます）は正規分布の平均を示していて、この場合は０です。
σ（「シグマ」と読みます）は標準偏差を示しています。
標準偏差とはバラツキを表していて、大きいほどバラツキも大きくなります。
どういうことかというと、標準偏差が大きい場合、もしもう一度アンケートを取った時に、標本比率が５７％からかなり外れた値になる確率が高くなる、ということです。
詳しい説明は省きますが、この場合の標準偏差σは次の式で求めることができます。
標準比率をｐ、標本の数をｎとして、
σ ＝ √（ｐ×（１－ｐ）／ｎ） ・・・（１）
となります。
今回のアンケートでは
ｐ ＝ ０．５７（正確には５８／１０２＝０．５６８６・・）
ｎ ＝ １０２
なので、上記の（１）に代入すると、
σ ＝ ０．０４９
となります。
さて、再び正規分布の見方に戻ります。下の図を観てみてください。
正規分布では必ずμ（平均）±１．９６σ（標準偏差）の範囲に総面積の９５％が含まれます。（図の黄色の部分）
上記で計算したように、μ＝０、σ＝０．０４９ を代入すると、
－０．０９６１ ～ ０．０９６１ となります。
これは、９５％の確率で母比率と標本比率の差は－０．０９６１ ～ ０．０９６１になるという事です。
標本比率は
５８／１０２ ＝ ０．５６８６
だったので、母比率は９５％の確率で
０．５６８６ － ０．０９６１ ＝ ０．４７２５
と
０．５６８６ ＋ ０．０９６１ ＝ ０．６６４７
の間にあるという事です。
これを統計学では「信頼度９５％で母比率は０．４７２５から０．６６４７である」
と言います。
母集団の数が２０５６だったので、母比率をかけると当初の目的である「Twitterのフォロワーで、新潟に住んでいる人がどのくらいいるか」が推定できます。
計算すると、信頼度９５％でフォロワーのうち
９７２人 ～ １３６６人
が新潟に住んでいる、と推定できました。
以上のプロセスを②新潟に住んでいないけど新潟出身、にも適用してみるとその人数は
６９人 ～ ２９４人
となります。
以上、統計学を使ってTwitterで遊んでみたというお話でした。
