折り紙で正七角形が作れる理由
昨日は高田馬場でオフ会がありまして、楽しい酒の席となりました。さて、集まったメンバーはというと、Facebookの数学のコミュニティで知り合った面々です。そんな面々と話題になった一つが、折り紙で正七角形を作れるってこと。オフ会のちょっと前に、メンバーの一人があげていたスレである。数学というと、定規とコンパスを使って作図出来るか出来ないかってことが問題とされる。定規は直線しか引くことが出来ないので、直線の方程式、つまり一次式。コンパスは円を描くことや、線分の長さを保持することしか出来ないので、円の方程式、つまり二次式。これらによって、交点が出来るわけだが、この交点は連立方程式の解と同義である。幾何を代数で解くということになる。一次式と二次式を使って出来る交点の座標は、連立方程式の解で得られるわけだが、二次方程式の解が限界である。さて、正七角形はというところである。x-y平面にて、点P(3, 0)、点Q(0, 2)を取る。点Pは直線y＝2上へ、点Qは直線x＝2上へ、それぞれが成立するように折る。点Pは点P'へ、点Qは点Q'へ、直線ABは、折り紙における折れ目ということになります。数学的に言うと、直線ABは、線分PP'と線分QQ'の垂直二等分線となります。もっと難しい数学でいうならば、2つの放物線の共通接線ということになります。なお、折り紙においては、線分PP'や線分QQ'は折り目にはならないのと、図がごちゃごちゃするので省略しておきます。赤線や青線は折る必要があるということです。ここで重要なのが、OB：OA＝1：2cos(2π/7)という比が求まるということ。簡単に言えば、∠OBA＝2π/7ということです。もっと簡単に言えば、360˚を7等分した角が出来たということです。これはつまり、正七角形を中心から頂点へ結んで出来る7つの二等辺三角形の頂角が2π/7だということ。二等辺三角形の頂角と底角の関係は、三角形の内角の和が180˚、つまりπを使って、度数法 ⇔ 弧度法底角＝(180˚－頂角)÷2 ⇔ 底角＝(π－頂角)÷2両辺を2倍すると、2×底角＝180˚－頂角 ⇔ 2×底角＝π－頂角ということです。頂角が2π/7なので、2×底角は5π/7∠OBA＝2π/7より、∠ABC＝5π/7あとは、折り紙ですから、線分ABという長さと、∠ABCを半分にするなりして、点C、点D、点E、点F、点Gと求めることは容易ですね。日本の伝統文化である折り紙。実に数学的に意味のあるものなんですよね。大の大人が飲み会の席で、折り紙の話をしていたのを、傍から見たらどう見えたであろうか。まぁ、個室だったので、問題はないんだけれどもね。ではではtable.renbun td { border: 0px; padding: 2px 2px 2px 2px; vertical-align: middle; white-space: nowrap; }table.renbun td.ul { border-style: solid; border-width: 0px 0px 1px 0px; }table.renbun td.ol { border-style: solid; border-width: 1px 0px 0px 0px; }table.ans td:nth-child(1) { text-align: center; }table.ans td div { width: 265px; overflow-x: scroll; }table.ans td div span { white-space: nowrap; }table.test td {white-space: nowrap;padding: 0 5px;} .u {border-bottom-style: solid;border-bottom-width: 1px;text-align: center;}table#list td { padding: 0 2px; font-family: monospace; }.no { display:inline-block; text-align:center; vertical-align:middle;}.ni { display:inline-block; text-align:center; vertical-align:middle; line-height:100%;}.ns { font-family:serif; font-size:250%; line-height:100%;}.io { display:inline-block; white-space:nowrap;}.io sub { vertical-align:bottom; white-space:nowrap;}.io sup { vertical-align:top; white-space:nowrap;}.ii { display:inline-block; vertical-align:middle;}.is { vertical-align:middle; font-family:arial;// font-family: sans-serif; font-size:300%; line-height:70%; font-weight: 5;// margin: 0 -15px 0 -10px;}.ii2{ display:inline-block; line-height:100%; vertical-align:middle;}.is2{ line-height:155%;// line-height:109%; font-family:sans-serif;}.mo { display:inline-block; vertical-align:middle;}.mi { display:inline-block; white-space:nowrap; vertical-align:middle; line-height:100%;}html:not([lang]) .mp { display:inline-block; line-height:100%; font-size:120%; font-family:sans-serif; margin: 0; padding: 0;}.mp{ display:inline-block; line-height:100%; font-size:120%; font-family:serif; margin: 0; padding: 0;}.md{ display:inline-block; line-height:120%; text-align:right; margin: 0 5px;}.lo { display:inline-block; text-align:center; vertical-align:middle;}.li { display:inline-block; text-align:center; vertical-align:middle; line-height:100%; margin: 0 5px 0 0;}.ls { font-family:serif; font-size:120%; line-height:100%;}.fb {border-style:solid;border-width:1px 0 0 0;margin:1px 0;}.fo {display:inline-block;text-align:center;vertical-align:middle;white-space: nowrap;}.fo span {margin: 0 3px;}.fo span span {margin: 0 0;}.article table {white-space: nowrap;}.ro{display:inline-block;white-space:nowrap;line-height:100%;position:static;}.rt{font-family: 'Meiryo', 'YuGothic', 'Gothic', sans-serif;}.ri{display:inherit;border-style:solid;border-width:1px 0 0 0;padding:0 1px 0 1px;margin:1px 0 0 0;position:relative; left:-1.5px;}article table {margin-bottom: 0 !important;}article table td {white-space: nowrap;text-align: center;}
