図形問題を出題するよ。
三角形ABCがあり、
AB＝15、AC＝9、∠ABC＝θ、∠ACB＝2θのとき、
三角形ABCの面積を求めよ。
シンキングタ～イム
中学生以下には解けそうもない問題ですね。
さて、どうしましょうかね。
AからBCへ垂線の足をH、長さhとしてみる。
hを三角関数を使って表す方法が左右2通り出来る。
sin(θ)＝h/15 ⇒ h＝15sin(θ) … (1)
sin(2θ)＝h/9 ⇒ h＝9sin(2θ)
より、
15sin(θ)＝9sin(2θ)
5sin(θ)＝3sin(2θ)
加法定理
sin(2θ)＝2sin(θ)cos(θ)より、
5sin(θ)＝6sin(θ)cos(θ)
θ≠0より、sin(θ)≠0なので、両辺をsin(θ)で割れ、
5＝6cos(θ)
cos(θ)＝5/6 … (2)
cos2(θ)＝25/36
sin2(θ)＋cos2(θ)＝1より、
sin2(θ)＝1－cos2(θ)となるので、
sin2(θ)＝1－25/36＝(36－25)/36＝11/36
sin(θ)＝√11/6 … (3)
(3)を(1)に代入すると、
h＝5√11/2 … (4)
と高さhが求まりましたので、底辺BCを求めてみます。
cos(θ)＝BH/15 ⇒ BH＝15cos(θ)
cos(2θ)＝HC/9 ⇒ HC＝9cos(2θ)
より、
BC＝15cos(θ)＋9cos(2θ)
倍角の公式
cos(2θ)＝2cos2(θ)－1
より、
BC＝15cos(θ)＋9×(2cos2(θ)－1)
(2)を代入すると、
＝15×5/6＋9×(2×25/36－1)
＝75/6＋9×(50/36－1)
＝75/6＋9×(25/18－1)
＝75/6＋9×(25－18)/18
＝75/6＋7/2
＝(75＋3×7)/6
＝96/6
＝16
よって、三角形ABCの面積Sは、
S＝16×5√11/2÷2＝20√11
答え 20√11
細く式変形しながら解いてみたが、なんか余計なことをしているような気がしなくもないので、別の解法を考えてみる。
正弦定理より、
16/sin(2θ)＝9/sin(θ)＝2R
16sin(θ)＝9sin(2θ)
と同じ式にたどり着くので、2RのRは外接円の半径となることを考えてみると、
4S＝abc/R
なので、三角形の3辺全ての長さが必要になるので、先の解法と同じことをすることになるので、正弦定理ではなさそうである。
解っているのは2辺の長さなので、
∠BAC＝π－3θを利用して、二辺夾角で面積を求めることも出来る。
∠BAC＝π－3θ
sin(π－3θ)＝sin(3θ)
三倍角の公式
sin(3θ)＝3sin(θ)－4sin3(θ)
より、
S＝15×9×sin(3θ)/2＝15×9×(3sin(θ)－4sin3(θ))/2
＝135×(3sin(θ)－4sin3(θ))/2
＝135sin(θ)(3－4sin2(θ))/2
(3)より、
＝135×√11/6×(3－4×11/36)/2
＝45√11/2×(3－44/36)/2
＝45√11/2×((108－44)/36)/2
＝45√11/2×(64/36)/2
＝45√11/2×(16/9)/2
＝20√11
まぁ、どれでもいいが、解けることが重要なんだろう。
ではでは