正方形の面積を求めよ

図形問題を出題するよ。

正方形ABCDがあり、

AE＝2cm、BE＝4cm、CE＝6cmとなる

点Eが内部に存在しているとき、

正方形ABCDの面積を求めよ。

シンキングタ～イム

まぁ、よくある補助線だが、

同じ長さがあったら貼り合わせる、軸を指定して回転するパターンだ。

Bを軸に点Pを時計回りに90˚回転させた点をQとする。

BQ＝4cm、∠PBQ＝90˚であるから、

三角形PBQは、Bを頂角とする直角に等辺三角形であり、

底角は(180˚－90˚)÷2＝45˚となり、

PQ＝4√2cmとなる。

方や、

CQ＝2cm、PC＝6cmであるから、

三平方の定理より、

PQ＝√6²－2²＝4√2

と求まることから、

逆説的に∠PQC＝90˚となる。

よって、

∠BQC＝∠APB＝45˚＋90˚＝135˚

と有名角であることが解った。

正方形の1辺の長さxというか、正方形の面積xを余弦定理で表すと、

x²＝2²＋4²－2・2・4・cos(135˚)

cos(135˚)＝－1/√2より、

x²＝4＋16＋16/√2

x²＝20＋8√2

答え　20＋8√2

ではでは