図形問題出題するよ。
図のように長方形ABCDがあり、点CからCDを半径とする四分円を長方形の内部に描く。
ABの中点をMとし、MAを半径とする半円を描いたところ、四分円と半円は接している。
更に、四分円と半円に接する半円の中心をAB上の点Pとした。
長方形ABCDの面積：三角形MBPの面積
を求めよ。
中学生以上を想定しています。
シンキングタ～イム
まずは、適当に値を入れて、三平方の定理で求まるところを求めてみる。
AM＝1とすると、
MC＝1＋2＝3、MB＝1より、
BC＝√32－12＝2√2
Pを中心とする半円の半径をrとすると、
MP＝1＋r、CP＝2＋rより、
AP＝√(1＋r)2－12＝√r2＋2r
PD＝√(2＋r)2－22＝√r2＋4r
AP＋PD＝AD＝√r2＋2r＋√r2＋4r＝2√2
√r2＋2r＝2√2－√r2＋4r
r2＋2r＝8＋(r2＋4r)－4√2r2＋8r
4√2r2＋8r＝8＋2r
16(2r2＋8r)＝(8＋2r)2
32r2＋128r＝64＋32r＋4r2
28r2＋96r－64＝0
7r2＋24r－16＝0
(7r－4)(r＋r)＝0
r＞0より、
r＝4/7
AP＝6√2/7
PD＝8√2/7
長方形ABCDの面積＝2×2√2＝4√2
三角形PMDの面積＝4√2－1×6√2/7/2－2×8√2/7/2－1×2√2/2＝10√2/7
長方形ABCDの面積：三角形PMCの面積＝14：5
答え 14：5
根号外すの面倒だよね。
ではでは