図のようにn個の単位円が入る最小の正方形に充填して、色付きの部分、つまり残余率について考える。
n＝1, 4, 9, …といった平方数は、21.4601836602...%といった必ず同じ値を示すことは、自明ではある。
そこで問題、そんな平方数個の場合の残余率を下回る最小のnはいくつか？
といった問題を考えている。
例えば、n≦100において、空白率の昇順でランキングをしたら、それぞれのnは何位なんだろうか？という疑問も解決したいなと思っている。
この問題の難しいところは、厳密値を使ってある程度容易に定められるものや、それが出来ずに二分法などを使って解析的に求めるしか方法がないものに分類される。
つまり、ある程度数学が解って、解析学が解って、プログラミングが出来るという前提が必要になってしまう。
それでも、前者を使って考えることも可能ではある。
例えば、n＝68を考える。
8＋7＋8＋7＋8＋7＋8＋7＋8＝68と段々に中心点が六角格子、つまりハニカム構造になるように積んでいくとする。
単位円だとすると、1と9の高さは√3の差があるので、
積み上がった高さと正方形の一辺を計算すると、2＋8√3＜16が成り立ち、
この状態であっても、平方数個の残余率よりも大幅に下回っていることが解る。
つまり、それよりも小さなnで下回っているものがあるかを探索すれば良いという結論は安易に出せるということだ。
では、実際にn＝10をやってみよう。
下側に重力があると思って配置してあります。
9と10が同じ高さになるように考える必要があります。
8は必ずしも9と接している必要はありませんが、重力によってこうなることが一番安定していると考えての作図です。
二分法として、
4－2－3で出来る角をαとして、
45˚＜α＜60˚
というレンジで二分法を行って、
幅widthや高さheiht＝widthを固定して、
radius＝width/(4＋4cos(α))
と定まるので、
それに従って積み上げていって、
上辺からrを引いた横線と、6と7のそれぞれの中心から半径2rの円を描いた交点を取ると、9、10の座標が求まり、
10のx座標から9のx座標を引いた値が、
2rよりも小さいならば、αmax＝α
2rよりも大きいならば、αmin＝α
といった方法で行えば、図のように定まるのである。
実は、n＝6もこういった方法で解くことになるのだろう。
さて、出題と例題はやってみせた。
解いてみようと思えるかは、また別問題ではある。
検討を祈る。
ではでは