ちょっと思うところがあって書いてみる。
x4－√3x3－3x2＋2√3x＋3＝0
を因数分解せよ。
という問題があったら、みなさんはどうしますか？
仮に、中学生が解くとしたら、4次方程式の解の公式、つまりフェラーリの解法なんてものを知るよしもないわけで、xの値に適当な値を入れてみるという試行錯誤をするだろうか。
まぁ、感の良い生徒であれば、奇数乗項にだけ√3の係数が存在することから、
x＝√3を試したりするのではなかろうか。
(x－√3)(x3－3x－√3)＝0
と因数分解出来た。
これが答えだと言えるのは、複素数を習っていない中学生までとなる。
では、複素数を習っている高校生は、ここからカルダノの解法を利用して、残りの3つの解を求めて、とやることも出来るが、かなり複雑な式になる。
xn＝(ωn・3√－4√3＋4i＋ω－n・3√－4√3－4i)/2
n=0,1,2
といった2重根号の上、3乗根だし、虚数単位iは登場する。
ωを使って簡潔にしてみたが、まぁ記述が面倒な解になることは確かだ。
で、高校生でももう一つの方法があると考えている。
x＝√3
は、
x＝2cos(30˚)
ということに着目し、他の解もcosを使ったこの形式に準ずるのではないかと予想を建て、
x＝2cos(θ)と置いてみると、
x3－3x－√3＝0
8cos3(θ)－6cos(θ)－2cos(30˚)＝0
4cos3(θ)－3cos(θ)－cos(30˚)＝0
三倍角の公式cos(3θ)＝4cos3(θ)－3cos(θ)より、
cos(3θ)－cos(30˚)＝0
3θ＝360˚・n±30˚
n∈Z
0˚≦θ＜360˚とすると、
θ=10˚, 110˚, 250˚
となって、
(x－2cos(10˚))(x－2cos(30˚))(x－2cos(110˚))(x－2cos(250˚))＝0
n次式の因数分解ってのは、学習者がどこまでやっているかにかなり依存するということなんだ。
n次式なので、解はn個ある。
例えば、a,b,c∈Zとして、
ax2＋bx＋c＝0
と記述したとして、両辺をaで割れば、
x2＋(b/a)x＋(c/a)＝0
となって、b/a=d, c/a=eとすれば、d,e∈Qなわけで、
x2＋dx＋e＝0
であり、これが係数を有理数に限定したということなんだ。
中学生は無理数を習っても、あくまでも係数は有理数に限定したものばかりを扱うことになる。
有理数係数のn次式の解となりうるものを代数的数、なりえないものを超越数というのも、数学の世界ではあるが、係数を実数や複素数に拡張するのも数学なのである。
実は、先の式は、以下の図形問題を解くうえで必要だったりする。
まぁ、解いてみてくださいな。
ではでは