集合論について

今日は思うところがあって、集合論について書いてみようかと思う。

高校ではやらないであろう集合論。

まずは、群・環・体ってなんだ？って話しから書こうかな。

例えば、有理数の四則演算を考える。

有理数には正も負も含んでいるので、加算だけで減算は考えなくて良い。

有理数＋有理数＝有理数

有理数×有理数＝有理数

有理数÷有理数＝有理数　※但し割る数は0ではないとする

この状況になっているものを、体（たい）と呼ぶ。

なので、有理数は体なので、有理数体と呼ぶ。

例えば、整数も正も負も含んでいて、

整数＋整数＝整数

整数×整数＝整数

整数÷整数＝有理数　※但し割る数は0ではないとする

となって、除法だけが整数にならないので、

こういう状況のものを、環（かん）と呼ぶ。

なので、整数は環なので、整数環と呼ぶ。

他にも、

加法が成り立つものを加法群、

乗法が成り立つものを乗法群、

群（ぐん）と呼ぶんだ。

さて、自然数、整数、有理数、無理数、複素数、

なんて小中高までで習っていくことになるのだが、

他にも、代数的数ってのがある。

代数的数ってのは、簡単に書くと

係数が有理数の有限個の項の1変数多項式の解になり得るもの。

となる。

逆にならないものを超越数と呼ぶんだけれども、

超越数で有名なものとして、円周率πやネイピア数eといったものがある。

さてさて、こんな数についていろいろと分類が進んでいくなか、

超越数かどうか解らない数ってのがある。

超越数のπやeが使われてはいるが、超越数かのどうか未解決の式をいくつかあげてみる。

e＋π、e－π、eπ、e/π、π/e、π^e、e^e、π^π

面白いことに、π^eの超越性は証明されていないのに、

e^πの超越性は示されていたりする。

e^π＝(－1)^－i

とオイラーの等式から導けるので、

ゲルフォント＝シュナイダーの定理で証明が出来るんだ。

例えば、e＋πとeπの2つに着目すると、面白いことが起こる。

(x－e)(x－π)＝0

という式を展開すると、

x²－(e＋π)x＋eπ＝0

となって、当然解はeとπである。

eもπも超越数であるから、

e＋πかeπのどちらか一方は超越数である。または、

e＋πもeπもどちらも超越数である。となる。

これは、e＋πかeπのどちらか一方が代数的数であれば、もう一方は超越数であることが確定するということなんだ。

まぁ、超越性の証明ってのは難しいし、自分も専門外、門外漢なんで、

なんとも言えないんだけれどもね。

https://ja.wikipedia.org/wiki/超越数

ではでは