なんか挑発的で仰々しいタイトルになったが、
今回は挑発的な記事になりそうだ。
唐突だが、タイトル行も入れて55行の表を示す。
| group | # | a< | b< | c | d=sqrt(a^2+b^2+c^2) | e=sqrt(a^2+b^2) | f=sqrt(a^2+c^2) | g=sqrt(b^2+c^2) | a^2 | b^2 | c^2 | d^2 | e^2 | f^2 | g^2 | a^2%16 | b^2%16 | c^2%16 | d^2%16 | e^2%16 | f^2%16 | g^2%16 | (a^2+b^2+c^2)%16 | (e^2+f^2+g^2)%16 |
| {a,b,c} | 1 | 520.00000 | 576.00000 | 786.66956 | 1105.00000 | 776.00000 | 943.00000 | 975.00000 | 270400 | 331776 | 618849 | 1221025 | 602176 | 889249 | 950625 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 2 |
| {a,b,c} | 2 | 679.54102 | 1443.00000 | 1800.00000 | 2405.00000 | 1595.00000 | 1924.00000 | 2307.00000 | 461776 | 2082249 | 3240000 | 5784025 | 2544025 | 3701776 | 5322249 | 0 | 9 | 0 | 9 | 9 | 0 | 9 | 9 | 2 |
| {a,b,c} | 3 | 969.00000 | 1480.00000 | 2600.31998 | 3145.00000 | 1769.00000 | 2775.00000 | 2992.00000 | 938961 | 2190400 | 6761664 | 9891025 | 3129361 | 7700625 | 8952064 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 2 |
| {a,b,c} | 4 | 124.00000 | 957.00000 | 3721.93498 | 3845.00000 | 965.00000 | 3724.00000 | 3843.00000 | 15376 | 915849 | 13852800 | 14784025 | 931225 | 13868176 | 14768649 | 0 | 9 | 0 | 9 | 9 | 0 | 9 | 9 | 2 |
| {a,b,c} | 5 | 1320.00000 | 3206.96492 | 4301.00000 | 5525.00000 | 3468.00000 | 4499.00000 | 5365.00000 | 1742400 | 10284624 | 18498601 | 30525625 | 12027024 | 20241001 | 28783225 | 0 | 0 | 9 | 9 | 0 | 9 | 9 | 9 | 2 |
| {a,b,c} | 6 | 324.00000 | 4368.00000 | 4890.27862 | 6565.00000 | 4380.00000 | 4901.00000 | 6557.00000 | 104976 | 19079424 | 23914825 | 43099225 | 19184400 | 24019801 | 42994249 | 0 | 0 | 9 | 9 | 0 | 9 | 9 | 9 | 2 |
| {a,b,c} | 7 | 4123.00000 | 4836.00000 | 6824.19226 | 9325.00000 | 6355.00000 | 7973.00000 | 8364.00000 | 16999129 | 23386896 | 46569600 | 86955625 | 40386025 | 63568729 | 69956496 | 9 | 0 | 0 | 9 | 9 | 9 | 0 | 9 | 2 |
| {a,b,c} | 8 | 3037.30407 | 3128.00000 | 8175.00000 | 9265.00000 | 4360.00000 | 8721.00000 | 8753.00000 | 9225216 | 9784384 | 66830625 | 85840225 | 19009600 | 76055841 | 76615009 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 2 |
| {d} | 1 | 44.00000 | 117.00000 | 240.00000 | 270.60118 | 125.00000 | 244.00000 | 267.00000 | 1936 | 13689 | 57600 | 73225 | 15625 | 59536 | 71289 | 0 | 9 | 0 | 9 | 9 | 0 | 9 | 9 | 2 |
| {d} | 2 | 240.00000 | 252.00000 | 275.00000 | 443.54143 | 348.00000 | 365.00000 | 373.00000 | 57600 | 63504 | 75625 | 196729 | 121104 | 133225 | 139129 | 0 | 0 | 9 | 9 | 0 | 9 | 9 | 9 | 2 |
| {d} | 3 | 140.00000 | 480.00000 | 693.00000 | 854.54608 | 500.00000 | 707.00000 | 843.00000 | 19600 | 230400 | 480249 | 730249 | 250000 | 499849 | 710649 | 0 | 0 | 9 | 9 | 0 | 9 | 9 | 9 | 2 |
| {d} | 4 | 85.00000 | 132.00000 | 720.00000 | 736.91858 | 157.00000 | 725.00000 | 732.00000 | 7225 | 17424 | 518400 | 543049 | 24649 | 525625 | 535824 | 9 | 0 | 0 | 9 | 9 | 9 | 0 | 9 | 2 |
| {d} | 5 | 160.00000 | 231.00000 | 792.00000 | 840.37194 | 281.00000 | 808.00000 | 825.00000 | 25600 | 53361 | 627264 | 706225 | 78961 | 652864 | 680625 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 2 |
| {d} | 6 | 1008.00000 | 1100.00000 | 1155.00000 | 1886.81981 | 1492.00000 | 1533.00000 | 1595.00000 | 1016064 | 1210000 | 1334025 | 3560089 | 2226064 | 2350089 | 2544025 | 0 | 0 | 9 | 9 | 0 | 9 | 9 | 9 | 2 |
| {d} | 7 | 187.00000 | 1020.00000 | 1584.00000 | 1893.25777 | 1037.00000 | 1595.00000 | 1884.00000 | 34969 | 1040400 | 2509056 | 3584425 | 1075369 | 2544025 | 3549456 | 9 | 0 | 0 | 9 | 9 | 9 | 0 | 9 | 2 |
| {d} | 8 | 429.00000 | 880.00000 | 2340.00000 | 2536.54115 | 979.00000 | 2379.00000 | 2500.00000 | 184041 | 774400 | 5475600 | 6434041 | 958441 | 5659641 | 6250000 | 9 | 0 | 0 | 9 | 9 | 9 | 0 | 9 | 2 |
| {d} | 9 | 832.00000 | 855.00000 | 2640.00000 | 2897.04142 | 1193.00000 | 2768.00000 | 2775.00000 | 692224 | 731025 | 6969600 | 8392849 | 1423249 | 7661824 | 7700625 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 2 |
| {d} | 10 | 780.00000 | 2475.00000 | 2992.00000 | 3960.56675 | 2595.00000 | 3092.00000 | 3883.00000 | 608400 | 6125625 | 8952064 | 15686089 | 6734025 | 9560464 | 15077689 | 0 | 9 | 0 | 9 | 9 | 0 | 9 | 9 | 2 |
| {d} | 11 | 828.00000 | 2035.00000 | 3120.00000 | 3815.91522 | 2197.00000 | 3228.00000 | 3725.00000 | 685584 | 4141225 | 9734400 | 14561209 | 4826809 | 10419984 | 13875625 | 0 | 9 | 0 | 9 | 9 | 0 | 9 | 9 | 2 |
| {d} | 12 | 1560.00000 | 2295.00000 | 5984.00000 | 6596.12621 | 2775.00000 | 6184.00000 | 6409.00000 | 2433600 | 5267025 | 35808256 | 43508881 | 7700625 | 38241856 | 41075281 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 2 |
| {d} | 13 | 528.00000 | 5796.00000 | 6325.00000 | 8595.23269 | 5820.00000 | 6347.00000 | 8579.00000 | 278784 | 33593616 | 40005625 | 73878025 | 33872400 | 40284409 | 73599241 | 0 | 0 | 9 | 9 | 0 | 9 | 9 | 9 | 2 |
| {d} | 14 | 195.00000 | 748.00000 | 6336.00000 | 6382.97932 | 773.00000 | 6339.00000 | 6380.00000 | 38025 | 559504 | 40144896 | 40742425 | 597529 | 40182921 | 40704400 | 9 | 0 | 0 | 9 | 9 | 9 | 0 | 9 | 2 |
| {d} | 15 | 1155.00000 | 6300.00000 | 6688.00000 | 9260.31150 | 6405.00000 | 6787.00000 | 9188.00000 | 1334025 | 39690000 | 44729344 | 85753369 | 41024025 | 46063369 | 84419344 | 9 | 0 | 0 | 9 | 9 | 9 | 0 | 9 | 2 |
| {d} | 16 | 1755.00000 | 4576.00000 | 6732.00000 | 8327.04179 | 4901.00000 | 6957.00000 | 8140.00000 | 3080025 | 20939776 | 45319824 | 69339625 | 24019801 | 48399849 | 66259600 | 9 | 0 | 0 | 9 | 9 | 9 | 0 | 9 | 2 |
| {d} | 17 | 495.00000 | 4888.00000 | 8160.00000 | 9524.87108 | 4913.00000 | 8175.00000 | 9512.00000 | 245025 | 23892544 | 66585600 | 90723169 | 24137569 | 66830625 | 90478144 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 2 |
| {d} | 18 | 1575.00000 | 1672.00000 | 9120.00000 | 9404.81839 | 2297.00000 | 9255.00000 | 9272.00000 | 2480625 | 2795584 | 83174400 | 88450609 | 5276209 | 85655025 | 85969984 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 2 |
| {d} | 19 | 2964.00000 | 9152.00000 | 9405.00000 | 13453.56551 | 9620.00000 | 9861.00000 | 13123.00000 | 8785296 | 83759104 | 88454025 | 180998425 | 92544400 | 97239321 | 172213129 | 0 | 0 | 9 | 9 | 0 | 9 | 9 | 9 | 2 |
| {e,f,g} | 1 | 104.00000 | 153.00000 | 672.00000 | 697.00000 | 185.00000 | 680.00000 | 689.19736 | 10816 | 23409 | 451584 | 485809 | 34225 | 462400 | 474993 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 2 |
| {e,f,g} | 2 | 117.00000 | 520.00000 | 756.00000 | 925.00000 | 533.00000 | 765.00000 | 917.57071 | 13689 | 270400 | 571536 | 855625 | 284089 | 585225 | 841936 | 9 | 0 | 0 | 9 | 9 | 9 | 0 | 9 | 2 |
| {e,f,g} | 3 | 448.00000 | 495.00000 | 840.00000 | 1073.00000 | 667.62939 | 952.00000 | 975.00000 | 200704 | 245025 | 705600 | 1151329 | 445729 | 906304 | 950625 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 2 |
| {e,f,g} | 4 | 264.00000 | 495.00000 | 952.00000 | 1105.00000 | 561.00000 | 987.92712 | 1073.00000 | 69696 | 245025 | 906304 | 1221025 | 314721 | 976000 | 1151329 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 2 |
| {e,f,g} | 5 | 264.00000 | 448.00000 | 975.00000 | 1105.00000 | 520.00000 | 1010.10940 | 1073.00000 | 69696 | 200704 | 950625 | 1221025 | 270400 | 1020321 | 1151329 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 2 |
| {e,f,g} | 6 | 1092.00000 | 1540.00000 | 1881.00000 | 2665.00000 | 1887.87288 | 2175.00000 | 2431.00000 | 1192464 | 2371600 | 3538161 | 7102225 | 3564064 | 4730625 | 5909761 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 2 |
| {e,f,g} | 7 | 333.00000 | 644.00000 | 2040.00000 | 2165.00000 | 725.00000 | 2067.00000 | 2139.23725 | 110889 | 414736 | 4161600 | 4687225 | 525625 | 4272489 | 4576336 | 9 | 0 | 0 | 9 | 9 | 9 | 0 | 9 | 2 |
| {e,f,g} | 8 | 1680.00000 | 1925.00000 | 2052.00000 | 3277.00000 | 2555.00000 | 2652.00000 | 2813.59716 | 2822400 | 3705625 | 4210704 | 10738729 | 6528025 | 7033104 | 7916329 | 0 | 9 | 0 | 9 | 9 | 0 | 9 | 9 | 2 |
| {e,f,g} | 9 | 252.00000 | 2261.00000 | 2640.00000 | 3485.00000 | 2275.00000 | 2652.00000 | 3475.87701 | 63504 | 5112121 | 6969600 | 12145225 | 5175625 | 7033104 | 12081721 | 0 | 9 | 0 | 9 | 9 | 0 | 9 | 9 | 2 |
| {e,f,g} | 10 | 1428.00000 | 1771.00000 | 2640.00000 | 3485.00000 | 2275.00000 | 3001.46364 | 3179.00000 | 2039184 | 3136441 | 6969600 | 12145225 | 5175625 | 9008784 | 10106041 | 0 | 9 | 0 | 9 | 9 | 0 | 9 | 9 | 2 |
| {e,f,g} | 11 | 2275.00000 | 2640.00000 | 2772.00000 | 4453.00000 | 3485.00000 | 3586.02970 | 3828.00000 | 5175625 | 6969600 | 7683984 | 19829209 | 12145225 | 12859609 | 14653584 | 9 | 0 | 0 | 9 | 9 | 9 | 0 | 9 | 2 |
| {e,f,g} | 12 | 533.00000 | 756.00000 | 3360.00000 | 3485.00000 | 925.00000 | 3402.01249 | 3444.00000 | 284089 | 571536 | 11289600 | 12145225 | 855625 | 11573689 | 11861136 | 9 | 0 | 0 | 9 | 9 | 9 | 0 | 9 | 2 |
| {e,f,g} | 13 | 840.00000 | 1364.00000 | 3627.00000 | 3965.00000 | 1601.90387 | 3723.00000 | 3875.00000 | 705600 | 1860496 | 13155129 | 15721225 | 2566096 | 13860729 | 15015625 | 0 | 0 | 9 | 9 | 0 | 9 | 9 | 9 | 2 |
| {e,f,g} | 14 | 819.00000 | 1680.00000 | 3740.00000 | 4181.00000 | 1869.00000 | 3828.62390 | 4100.00000 | 670761 | 2822400 | 13987600 | 17480761 | 3493161 | 14658361 | 16810000 | 9 | 0 | 0 | 9 | 9 | 9 | 0 | 9 | 2 |
| {e,f,g} | 15 | 399.00000 | 468.00000 | 4180.00000 | 4225.00000 | 615.00000 | 4199.00000 | 4206.11745 | 159201 | 219024 | 17472400 | 17850625 | 378225 | 17631601 | 17691424 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 16 | 1 | 2 |
| {e,f,g} | 16 | 1932.00000 | 2880.00000 | 4301.00000 | 5525.00000 | 3468.00000 | 4715.00000 | 5176.19561 | 3732624 | 8294400 | 18498601 | 30525625 | 12027024 | 22231225 | 26793001 | 0 | 0 | 9 | 9 | 0 | 9 | 9 | 9 | 2 |
| {e,f,g} | 17 | 1680.00000 | 3404.00000 | 4653.00000 | 6005.00000 | 3796.00000 | 4947.00000 | 5765.20815 | 2822400 | 11587216 | 21650409 | 36060025 | 14409616 | 24472809 | 33237625 | 0 | 0 | 9 | 9 | 0 | 9 | 9 | 9 | 2 |
| {e,f,g} | 18 | 1665.00000 | 4264.00000 | 6048.00000 | 7585.00000 | 4577.54530 | 6273.00000 | 7400.00000 | 2772225 | 18181696 | 36578304 | 57532225 | 20953921 | 39350529 | 54760000 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 2 |
| {e,f,g} | 19 | 3927.00000 | 5952.00000 | 6536.00000 | 9673.00000 | 7130.75263 | 7625.00000 | 8840.00000 | 15421329 | 35426304 | 42719296 | 93566929 | 50847633 | 58140625 | 78145600 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 2 |
| {e,f,g} | 20 | 861.00000 | 5852.00000 | 6864.00000 | 9061.00000 | 5915.00000 | 6917.78989 | 9020.00000 | 741321 | 34245904 | 47114496 | 82101721 | 34987225 | 47855817 | 81360400 | 9 | 0 | 0 | 9 | 9 | 9 | 0 | 9 | 2 |
| {e,f,g} | 21 | 357.00000 | 1276.00000 | 6960.00000 | 7085.00000 | 1325.00000 | 6969.14980 | 7076.00000 | 127449 | 1628176 | 48441600 | 50197225 | 1755625 | 48569049 | 50069776 | 9 | 0 | 0 | 9 | 9 | 9 | 0 | 9 | 2 |
| {e,f,g} | 22 | 2352.00000 | 5236.00000 | 7011.00000 | 9061.00000 | 5740.00000 | 7395.00000 | 8750.41810 | 5531904 | 27415696 | 49154121 | 82101721 | 32947600 | 54686025 | 76569817 | 0 | 0 | 9 | 9 | 0 | 9 | 9 | 9 | 2 |
| {e,f,g} | 23 | 2772.00000 | 5605.00000 | 7800.00000 | 9997.00000 | 6253.00000 | 8277.92148 | 9605.00000 | 7683984 | 31416025 | 60840000 | 99940009 | 39100009 | 68523984 | 92256025 | 0 | 9 | 0 | 9 | 9 | 0 | 9 | 9 | 2 |
| {e,f,g} | 24 | 2548.00000 | 4389.00000 | 8352.00000 | 9773.00000 | 5075.00000 | 8732.02199 | 9435.00000 | 6492304 | 19263321 | 69755904 | 95511529 | 25755625 | 76248208 | 89019225 | 0 | 9 | 0 | 9 | 9 | 0 | 9 | 9 | 2 |
| {e,f,g} | 25 | 1564.00000 | 1827.00000 | 8736.00000 | 9061.00000 | 2405.00000 | 8874.89673 | 8925.00000 | 2446096 | 3337929 | 76317696 | 82101721 | 5784025 | 78763792 | 79655625 | 0 | 9 | 0 | 9 | 9 | 16 | 9 | 9 | 2 |
| {e,f,g} | 26 | 4032.00000 | 6601.00000 | 8976.00000 | 11849.00000 | 7735.00000 | 9840.00000 | 11141.89288 | 16257024 | 43573201 | 80568576 | 140398801 | 59830225 | 96825600 | 124141777 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 2 |
| {e,f,g} | 27 | 3124.00000 | 4557.00000 | 9840.00000 | 11285.00000 | 5525.00000 | 10324.00000 | 10843.97755 | 9759376 | 20766249 | 96825600 | 127351225 | 30525625 | 106584976 | 117591849 | 0 | 9 | 0 | 9 | 9 | 0 | 9 | 9 | 2 |
最近研究しているオイラーのレンガや完全直方体の話しです。
辺の長さをa,b,cとする直方体があって、空間対角線をd、3面の対角線をe,f,gとしている、ある意味我流な表であり、a＜b＜c≦10000といった範囲に絞った全データといったものとなります。
表のヘッダーについて、
groupは、{a,b,c},{d},{e,f,g}の3つのグループに分類されており、{}の中の1つの数値だけが無理数ということを意味します。
#は、各グループのcについて昇順ソートした際のナンバリングになっており、そのグループが何個存在するかの確認も出来ます。
a,b,c,d,e,f,gは、直方体のどこの部分の線分の長さなのかということです。
それ以降も、a,b,c,d,e,f,gに関するデータで、^2は2乗、%16はmod 16ということを意味してます。
{d}は、オイラーのレンガであり、
a,b,cからd,e,f,gを求めることは出来るが、
この方法では、特定のレンジの全データ、例えば、
0＜a＜b＜c≦10n
といった範囲において、nを大きくすればするほど、
かなりの時間を有することになるので、n＝3や4ならばいいが、
5、6、…と増やそうものならば、スパコンでも使わない限り、
求めようとは思えないのだ。
{e,f,g}は、m,n,p,qという4変数を使い、
m,p＞0
n,q≧0
m2－n2＞p2－q2
mp＞nq
m,n,p,q∈Z
という条件で、
a:＝(m2＋n2)－(p2＋q2)
b:＝2(mp－nq)
c:＝2(mq＋np)
d:＝(m2＋n2)＋(p2＋q2)
と求まった上で、
gcd(a,b,c)＝1
{e,f,g}の中の1つだけ無理数でのこりの2つは自然数
といった条件で抽出したものとすることで、かなりの個数を求めることも可能ではある。
{a,b,c}は、e,f,gの値から、a,b,c,dを求める必要があるという意味で、
{d}と同じ方法になるだろう。
ちなみに、e,f,gから、a,b,c,dは、
a2＝(＋e2＋f2－g2)/2
b2＝(＋e2－f2＋g2)/2
c2＝(－e2＋f2＋g2)/2
d2＝(＋e2＋f2＋g2)/2
といったようになり、2乗の状態であれば整数だが、平方根を取ると、a,b,c,dのいくつかが無理数になるので、dは自然数で{a,b,c}の中に1つだけの無理数という条件で抽出することになる。
さて、{a,b,c},{d},{e,f,g}の3グループで、7本の線分中6本が自然数で1本が無理数というものを、特定のレンジ内のすべてを見つけたわけです。
つまり、トポロジー的に考えると、7本中6本、直方体の外接球に、長さが自然数の一直線のトンネルの本数が、6本掘れたものと見れば、オイラーのレンガと同相だと言えるだろう。
{d}のオイラーのレンガならば研究者はたくさんいるだろうが、おそらく今回のような全体像を見ようなんてことをしてないのではなかろうか。
私が空間対角線をgではなくてdとしたのは、オイラーのレンガにおいて、空間対角線が自然数になったものは見つかっていないということなので、アプローチを逆にして、3辺と空間対角線の4つの線分が自然数ということを優先したということもあるのだが、空間対角線というものは、直方体の外接球の直径、つまりDiameterだから、dがお誂え向きだというのもある。
https://en.wikipedia.org/wiki/Euler_brick
ウィキペディアのEuler brick、つまりオイラーのレンガの記事なのだが、日本語バージョンはない。
おそらく、日本人はウィキペディアにおいて、日本語記事は世界的に見ても多いのに、こういった抜けが多くあるのは、日本人の辞書としての厳しさがあるのかもしれない。
自分もウィキペディアが出てきた当初は、結構記事を書いたりもしていたが、この記事を日本語化する気が起きないのだ。
それは、書いていることが曖昧というか、ツッコミがいくつか入ってしまうので、そのツッコミを解消するように書いてしまうというのも、何か変な気がしたからだ。
また、それをしてしまうと、独自研究だとか、一次資料を書けと、ノートに書かれてしまうということに、日本人ならばそうなることが見え見えなのだ。
また、気に入らないのが、Euler brickの記事内にPerfect cuboid、つまり完全直方体の記事を内包していることなんだ。
それは、オイラーのレンガの先に完全直方体があるようなイメージを植え付けてしまうからであり、本来であれば記事を別にして、関連リンクとして、Perfect cuboidについて語るべきなんだ。
つまり、今回のこの記事は、このウィキペディアに対しての、気持ち悪さを露呈させるものともなっていたりする。
ではでは