図形問題を出題するよ。
図のように、正六角形ABCDEFがあり、
AFの中点をMとして、MP＝PC、MQ＝QDとなる
正六角形の辺上の点P、Qを取り、四等辺五角形MPCDQを作る。
正六角形ABCDEFと四等辺五角形MPCDQの面積比を求めよ。
シンキングタ～イム
さて、面倒くさそうな問題が出てきました。
理解度を上げるために、補助線を引きましょうか。
MCを結び、MからCDへの垂線の足をHとする。
仮に、CHを1とすると、MHは2√3である。
また、MCの中点をNとして、PやBと結ぶ。
三角形PCMはPを頂角とする二等辺三角形なので、PNとMCは直交する。
更に、PからBNへ垂線の足をIとする。
とりあえず、これくらいでよいだろうか。
仮に、CDを4とすると、BNは3である。
∠CMHと∠PNIは等しいので、
仮に、PIを1とすると、INは2√3であり、BIは1/√3であり、PBは2/√3といったように求まる。
簡単な値にするために、正六角形の1辺を14とすると、
BNは14×3/4＝21/2
BI：IN＝1/√3：2√3＝1：6
より、
BI＝21/2/7＝3/2
PB＝BI×2＝3
あとは、ニ辺夾角で三角形の面積を求めるだけです。
三角形AMPの面積は、
AM＝7、AP＝14－3＝11、∠MAP＝120˚より、
7×11×sin(120˚)÷2＝77×√3/2÷2＝77√3/4
三角形PBCの面積は、
PB＝3、BC＝14、∠PBC＝120˚より、
3×14×sin(120˚)÷2＝42×√3/2÷2＝42√3/4
ということで、右側も同じなので、
正六角形ABCDEFの面積は、
6×7×7√3＝294√3
四等辺五角形MPCDQの面積は、
294√3－2×77√3/4－2×42√3/4＝469√3/2
294√3：469√3/2＝588：469＝84：67
答え 84：67
なんだかんだありましたが、整数比になりましたね。
ではでは