分割された三角形の面積

図形問題を出題するよ。

三角形ABCがあり、BC上の点P、AC上の点Qをとり、AP、BQを結んだ交点をRとする。

三角形ABRの面積が40、三角形BPRの面積が20、三角形AQRの面積が30のとき、

四角形RPCQの面積を求めよ。

中学生以上を想定しています。

シンキングタ～イム

さて、当然のように補助線を引くことになるのだが、どこが良いだろうか。

RCを結ぶことにします。

なぜここなのかと問われると、

線分APを底辺とみて、Bを頂点とする2つの三角形の面積は、高さが等しいので、

AR：RP＝40：20＝2：1

線分BQを底辺とみて、Aを頂点とする2つの三角形の面積は、高さが等しいので、

BR：RQ＝40：30＝4：3

のように、辺の比が容易に求まる。

RCを結ぶことで、これらを活用しやすいということに尽きます。

三角形RPCの面積をa、三角形QRCの面積をbとおく。

三角形ABCと三角形RBCは、底辺BCを共有しており、

AR：RP＝40：20＝2：1　⇒　AP：RP＝2＋1：1＝3：1

より、面積比が

⊿ABC：⊿RPB=40＋30＋20＋a＋b：20＋a＝3：1

90＋a＋b：20＋a＝3：1

3×(20＋a)＝90＋a＋b

3a＋60＝90＋a＋b

2a＝b＋30

b＝2a－30　… (1)

同様に、

三角形ABCと三角形ARCは、底辺ACを共有しており、

BR：RQ＝40：30＝4：3　⇒　BQ：RQ＝4＋3：3＝7：3

より、面積比が

⊿ABC：⊿ARC＝90＋a＋b：30＋b＝7：3

7×(30＋b)＝3×(90＋a＋b)

7b＋210＝270＋3a＋3b

4b＝3a＋60　… (2)

(1)を(2)に代入すると、

4×(2a－30)＝3a＋60

8a－120＝3a＋60

5a＝180

a＝36　… (3)

(3)を(1)に代入すると、

b＝2×36－30＝42

x＝a＋b＝36＋42＝78

答え　78

さて、別の解法を示します。

線分APを底辺とみて、Bを頂点とする2つの三角形の面積は、高さが等しいので、

AR：RP＝40：20＝2：1

線分BQを底辺とみて、Aを頂点とする2つの三角形の面積は、高さが等しいので、

BR：RQ＝40：30＝4：3

これらを三角形RBPに着目して考えると、

AR：RP＝40：20＝2：1

ではなくて、

RP：AR＝20：40＝4：8

とすると、

BR：RQ＝40：30＝4：3

との相性が良いだろう。

三角形ABCと三角形QBCは、底辺BCを共有して、面積比は、

⊿ABC：⊿QBC＝90＋x：20＋x＝4＋8：4＋3＝12：7

12×(20＋x)＝7×(90＋x)

12x＋240＝7x＝630

5x＝390

x＝78

答え　78

まぁ、どちらで求めてもいいといえばいいのだが、

前者は2つの変数にしてしまったが故に、2式の連立方程式を解く必要がある。

後者は変数を増やさなかったので、連立する必要がない。

私が図形問題が好きなのは、図形は目につきやすいのが一つある。

その上で、代数的に解くことも、幾何的に解くことも、解析的に解くことも、

出来る可能性を秘めているというところが大きい。

代数学、幾何学、解析学と並ぶと、数学の3本柱なので、これらを行き来する可能性が十二分にあるので、解き方がいろいろと考えられるということ。

あえて縛りを儲けて、小学生は解けるのか？中学生は？高校生は？と段階を踏むことも出来る。

一つの解き方に固執するのもいいけれども、他にもないのか？と考え続けることが大事だと私は思う。

ではでは