前にも書いたかとは思うが、自分はピタゴラス数を小学校高学年のころから研究対象としてきたという自負がある。
まぁ、結果が伴っていないかとは思うが、自分は随分満足していたりもする。
そんななか、新たなイメージが浮かんだのでちょっと書いてみようと思う。
四分円とその弦を描いておく。
今回はこの破線で描いた弦が重要なんです。
また、x軸をOdd、y軸をEvenとしたのも、後々解ることだろう。
まぁ、前置きはこのくらいで、
3：4：5のピタゴラス三角形を描いてみる。
原始ピタゴラス数は、3辺が互いに素な関係にある直角三角形の3辺の組です。
三角形といいつつ、2つを斜辺で互い違いにして張り合わせて、
長方形を描いていますが、これにも理由があります。
Odd側の点から上方向に赤線、破線を超えたら青線、弧に辿りつたら、左方向へ赤線、破線を超えたら青線となっていますね。
途中に点があったりしますね。
これは、軸ごとの赤線と青線の整数比となっている分割点です。
縦軸は赤青の順、横軸は青赤の順の比で表すことにしましょうか。
縦赤：縦青＝1：1、横青：横赤＝1：2
なんでこんなチグハグな色にしたのも理由がありまして、
縦を基準にすると、横赤は縦赤の2倍になるという法則があります。
青は変化しません。
また、緑の長方形の右上に破線とで出来る三角形は直角二等辺三角形であり、
直角を挟む2辺の長さは等しいので、
縦青×横赤を計算して、それぞれの比が同じスケールになるようにすると、
3：4：5の原始ピタゴラス数となるというからくりです。
5：12：13を見てみましょう。
縦赤：縦青＝2：1、横青：横赤＝1：4
15：8：17を見てみましょう。
縦赤：縦青＝1：3、横青：横赤＝3：2
21：20：29を見てみましょう。
縦赤：縦青＝2：3、横青：横赤＝3：4
7：24：25を見てみましょう。
縦赤：縦青＝3：1、横青：横赤＝1：6
何が言いたいかというと、
縦軸を描いたら、破線で整数比に分割されたら、
それは原始ピタゴラス三角形が描けます。
ということなんです。
四分円の弧上に有理点は無限に存在するので、原始ピタゴラス数も無限に存在するということです。
こんなちょっとした発見でした。
ではでは