図形問題を出題するよ。
問題
三角形ABCがあり、
AB＝8、BC＝3、∠ABC＝3θ、∠BCA＝θのとき、
ACの長さxを求めよ。
良問の予感がする。
高校生ならば、三角関数を使って解ける問題ではある。
解いた上で、xの値を知り、そんなことがあるのかと考えてしまう。
ならば、中学生でも解けるのだろうか。
といった発想になるだろう。
ネタバレしてしまうと、xは自然数である。
それを踏まえて、様々なアプローチによる解法を考えようというのが、今回の趣旨である。
シンキングタ～イム
今回は解答編その1としておく。
縛りというか、分類としては、高校生レベル、三角関数を使うことにしようかと思う。
補助線は引かないことにしましょうかね。
では、いってみよう。
今回の問題、おそらく高校数学を経験している人であれば、正弦定理を思い浮かべるだろう。
|
x
sin(3θ) |
＝ |
8
sin(θ) |
＝ |
3
sin(π－4θ) |
＝2R |
3倍角、4倍角が必要そうですね。
sin(3θ)＝3sin(θ)ー4sin3(θ)
sin(4θ)＝4sin(θ)cos(θ)(1ー2sin2(θ))
正弦定理を分母分子掛け合わせて、
3sin(θ)=8sin(πー4θ)
＝8sin(4θ)
＝32sin(θ)cos(θ)(1ー2sin2(θ))
sin(θ)≠0より、
3＝32cos(θ)(1ー2sin2(θ))
＝32cos(θ)(1ー2(1－cos2(θ)))
＝32cos(θ)(2cos2(θ)－1)
＝64cos3(θ)－32cos(θ)
64cos3(θ)－32cos(θ)－3＝0
t＝4cos(θ)とおくと、
t3－8t－3＝0
(t－3)(t2＋3t＋1)＝0
t＞0より、
t＝3
4cos(θ)＝3
| cos(θ)＝ |
3
4 |
| x＝ |
8sin(3θ)
sin(θ) |
＝ |
8×(3sin(θ)－4sin3(θ))
sin(θ) |
＝8×(3－4sin2(θ)) |
＝8×(3－4×(1－cos2(θ)))＝8×(3－4＋4cos2(θ))
＝8×(4cos2(θ)－1)＝32cos2(θ)－8
＝18－8＝10
ゴリゴリと計算してみました。
丁寧に途中の変形を書いたので長くなっていますが、ここまでご丁寧にやる必要はないかなとは思う。
実は、補助線を引けば、cos(θ)＝3/4からすぐに答えが出ます。
こんな感じです。
図とcos(θ)＝3/4から、赤線の長さが2であることが解り、x＝8＋2＝10と安直に求まります。
さて、正弦定理以外でも解けるのでしょうか。
例えば、二辺夾角で面積を求める公式
| S＝ |
a・b・sin(θ)
2 |
を使っても、
| S＝ |
24sin(3θ)
2 |
＝ |
3xsin(θ)
2 |
| x＝ |
8sin(3θ)
sin(θ) |
正弦定理と同様の式にたどり着きます。
例えば、二角夾辺で面積を求める公式
| S＝ |
a2sin(α)sin(β)
2sin(α＋β) |
を使っても、
| S＝ |
32sin(3θ)sin(θ)
2sin(4θ) |
＝ |
x2sin(θ)sin(4θ)
2sin(3θ) |
| x2＝ |
32sin2(3θ)
sin2(4θ) |
| x＝ |
3sin(3θ)
sin(4θ) |
といったように、正弦定理になってしまいます。
同じ結果になるということは、おそらく出どころが同じなのでしょうね。
例えば、余弦定理では、
x2＝82＋32－2×8×3×cos(3θ)
x2＋48cos(3θ)－73＝0
cos(3θ)＝4cos3(θ)－3cos(θ)より、
x2＋48×(4cos3(θ)－3cos(θ))－73＝0
x2＋192cos3(θ)－144cos(θ)－73＝0 … (1)
82＝32＋x2－2×3×x×cos(θ)
x2－6cos(θ)x－55＝0 … (2)
どのみち、cos(θ)を求めることになります。
先の、正弦定理でcos(θ)=3/4と求まったならば、余弦定理を使えば、もう少し簡単だったかもしれませんが、補助線には勝てないですね。
(1)－(2)を求めてみましょうか。
192cos3(θ)－144cos(θ)－18＋6cos(θ)x＝0
6cos(θ)x＝－192cos3(θ)＋144cos(θ)＋18
| x＝－32cos2(θ)＋24＋ |
3
cos(θ) |
さて、どうしましょうかね。
例えば、tanを使うことを無理やり考えるならば、
頂点Aから、直線BCへ垂線の足をH、高さをhとすると、二角夾辺から、
| h＝ |
BC・tan(3θ)・tan(θ)
tan(3θ)＋tan(θ) |
と立式出来ます。
HBやHCは三平方の定理で求められる。
とはいっても、この方法では面倒だなと感じているし、補助線を引いてしまったので、だめですね。
ならば、ACを底辺として、高さをhとするならば、
| h＝ |
x・tan(θ)・tan(π－4θ)
tan(θ)＋tan(π－θ) |
＝ |
x・tan(θ)・tan(4θ)
tan(4θ)－tan(θ) |
xは入っているけれども、なんかピンときませんね。
では、後日補助線を引くということを前提に考えてみましょうかね。
ではでは