円に内接する辺の長さが異なる自然数の多角形 -その11-

昨日の続き。

 

おさらい。

 

自然数の半径rの円に内接するn角形があり、

辺の長さがすべて異なる自然数で、

更には半径rや直径2rとも異なる、

 

このような条件のnにおける半径が最小となるものをみつけたい。

 

 

上記条件を満たす、円に内接する七角形以上になると、

組み合わせ爆発の影響でか、半径も大きくなってくるためか、

半径をインクリメントしながら探すプログラムでは、

なかなか答えを見つけるに至らない。

 

ということで、別アプローチとして、

180˚＋180＝360˚

120˚＋120˚＋120˚＝360˚

60˚＋120˚＋180˚＝360˚

60˚＋60˚＋120˚＋120˚＝360˚

60˚＋60˚＋60˚＋180˚＝360˚

60˚＋60˚＋60˚＋60˚＋120˚＝360˚

60˚＋60˚＋60˚＋60˚＋60˚＋60˚＝360˚

と、いくつかの扇型の和として考えることにした。

 

 

前回は、360˚におけるn＝14を求めてみました。

 

今回は、n＝18について書いていくことになります。

 

n=11以降は、180˚＋180˚で、片方の180˚は60˚＋60˚＋60で、3＋3＋3、もう片方の180˚で合計nにするということになる。

 

n＝18

radius a b c d e f g h i j k l m n o p q r A˚ B˚ C˚ D˚ E˚ F˚ G˚ H˚ I˚ J˚ K˚ L˚ M˚ N˚ O˚ P˚ Q˚ R˚ sum
375193 5239 28861 45682 56563 64883 79667 83762 107198 126217 140833 142786 157339 176111 184357 202958 217217 239723 273637 0.8000549785 4.4084550079 6.9804213595 8.6459450655 9.9206808110 12.1889313460 12.8180213741 16.4264214035 19.3666808550 21.6349313899 21.9386472066 24.2068977415 27.1471571930 28.4443877990 31.3846472506 33.6528977855 37.2612978149 42.7735236180 360.0000000000
375193 5239 22078 28861 45682 56563 64883 83762 107198 126217 140833 142786 157339 176111 184357 217217 239723 257887 273637 0.8000549785 3.3720213301 4.4084550079 6.9804213595 8.6459450655 9.9206808110 12.8180213741 16.4264214035 19.3666808550 21.6349313899 21.9386472066 24.2068977415 27.1471571930 28.4443877990 33.6528977855 37.2612978149 40.2015572665 42.7735236180 360.0000000000
375193 5239 22078 28861 45682 56563 64883 83762 107198 126217 140833 142786 157339 176111 184357 198989 217217 239723 330239 0.8000549785 3.3720213301 4.4084550079 6.9804213595 8.6459450655 9.9206808110 12.8180213741 16.4264214035 19.3666808550 21.6349313899 21.9386472066 24.2068977415 27.1471571930 28.4443877990 30.7555572225 33.6528977855 37.2612978149 52.2195236620 360.0000000000
375193 5239 22078 28861 45682 56563 64883 79667 107198 126217 140833 142786 157339 176111 184357 202958 217217 239723 330239 0.8000549785 3.3720213301 4.4084550079 6.9804213595 8.6459450655 9.9206808110 12.1889313460 16.4264214035 19.3666808550 21.6349313899 21.9386472066 24.2068977415 27.1471571930 28.4443877990 31.3846472506 33.6528977855 37.2612978149 52.2195236620 360.0000000000
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375193 5239 14014 22078 28861 45682 56563 64883 107198 126217 140833 142786 157339 176111 184357 217217 239723 265447 330239 0.8000549785 2.1402044730 3.3720213301 4.4084550079 6.9804213595 8.6459450655 9.9206808110 16.4264214035 19.3666808550 21.6349313899 21.9386472066 24.2068977415 27.1471571930 28.4443877990 33.6528977855 37.2612978149 41.4333741235 52.2195236620 360.0000000000
375193 5239 28861 45682 56563 64883 71362 79667 83762 107198 126217 142786 157339 176111 202958 217217 239723 251503 273637 0.8000549785 4.4084550079 6.9804213595 8.6459450655 9.9206808110 10.9141956004 12.1889313460 12.8180213741 16.4264214035 19.3666808550 21.9386472066 24.2068977415 27.1471571930 31.3846472506 33.6528977855 37.2612978149 39.1651235886 42.7735236180 360.0000000000
375193 5239 22078 28861 45682 56563 64883 71362 83762 107198 126217 142786 157339 176111 217217 239723 251503 257887 273637 0.8000549785 3.3720213301 4.4084550079 6.9804213595 8.6459450655 9.9206808110 10.9141956004 12.8180213741 16.4264214035 19.3666808550 21.9386472066 24.2068977415 27.1471571930 33.6528977855 37.2612978149 39.1651235886 40.2015572665 42.7735236180 360.0000000000
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375193 5239 22078 28861 45682 56563 64883 71362 79667 107198 126217 142786 157339 176111 202958 217217 239723 251503 330239 0.8000549785 3.3720213301 4.4084550079 6.9804213595 8.6459450655 9.9206808110 10.9141956004 12.1889313460 16.4264214035 19.3666808550 21.9386472066 24.2068977415 27.1471571930 31.3846472506 33.6528977855 37.2612978149 39.1651235886 52.2195236620 360.0000000000
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375193 5239 13733 14014 22078 28861 45682 56563 64883 107198 126217 142786 157339 176111 217217 239723 265447 305102 330239 0.8000549785 2.0972855845 2.1402044730 3.3720213301 4.4084550079 6.9804213595 8.6459450655 9.9206808110 16.4264214035 19.3666808550 21.9386472066 24.2068977415 27.1471571930 33.6528977855 37.2612978149 41.4333741235 47.9820336045 52.2195236620 360.0000000000

 

 

さて、最小かどうかは不明だが、現時点での最小と思われる半径rを各nについて求めることが出来た。

 

n＝3, r＝65＝5×13

n＝4, r＝25＝52

n＝5, r＝15＝3×5
n＝6, r＝16＝24

n＝7, r＝91＝7×13
n＝8, r＝91＝7×13
n＝9, r＝2275＝52×7×13

n＝10, r＝1729＝7×13×19

n＝11, r＝4921＝7×19×37

n＝12, r＝4123＝7×19×31
n＝13, r＝123025＝52×7×19×37

n＝14, r＝12103＝72×13×19

n＝15, r＝?
n＝16, r＝?
n＝17, r＝?
n＝18, r＝375193＝72×13×19×31

n＝19, r＝?
...

 

半径rについては、因数分解をしておいたので、なんとなくだが関連性があるのではなかろうかというところが見えてくればよいのだが、まだ何とも言えない状態ではある。

 

果たして、抜けているnについて、半径rは存在するのだろうか。

 

n≧9以降、rが肥大化しているが、もっと小さなrが存在する可能性は否めない。

それは、rをインクリメントしながら解を探していないからに他ならない。

 

nが大きくなるにつれ、半径rも大きく成らざるを得なく、

例えば、

n＝9, r＝2275

であれば、
単純に計算すると、

9C9＋10C9＋11C9＋…＋(2275×2)C9≒1.04×1030

という回数の思考をすることになる。

 

これは、半径rが解っているからざっくりとでも計算出来るが、それが解らない状態からスタートしなければならないので、途方もないのである。

 

何かしら、効率の良いアルゴリズムでも考え付けばいいのだが、360°を何分割かしてという方法で、やるということで、最小かは解らないが半径を求めるまには至ったということである。

 

 

何か新しい情報が見つかるまでは、とりあえず一旦の終了としましょうか。

 

 

ではでは